Материал: Методичка 1

Доказательство. Допустим противное: b 6= c, при этом можно счи-

òàòü, ÷òî b < c. Возьмем ε = (c − b)/2 > 0. Очевидно, Kε(b) ∩ Kε(c) = . По определению 2.3

◦

lim f(x) = b äëÿ ε > 0 δ1 > 0 : x Kδ1 (a) ∩ X f(x) Kε(b);

x→a

◦

lim f(x) = c äëÿ ε > 0 δ2 > 0 : x Kδ2 (a) ∩ X f(x) Kε(c).

x→a

Значит f(x) Kε(b) ∩ Kε(c) = . Получено противоречие.

Замечание 2.1. В теории пределов постоянно используется следующий простой факт: если утверждения P1, P2, . . . , Pn справедливы в окрест-

ностях Kδ1 (a), Kδ2 (a), . . . , Kδn (a) точки a соответственно, то все утверждения одновременно справедливы в пересечении этих окрестностей:

Kδ1 (a) ∩ Kδ2 (a) ∩ · · · ∩ Kδn (a) = Kδ(a), ãäå δ = min{δ1, δ2, . . . , δn}.

Замечание 2.2. Определение предела не дает возможности вычислить предел функции. Оно позволяет лишь проверить, является ли данная точка искомым пределом. Поэтому необходимо изучить свойства пределов и разработать технику их вычисления. Это и делается в следующих пара-

графах.

2.3. Предел суперпозиции функций

Пусть f : X → Y, g : Y → R. Рассмотрим g ◦f : X → R суперпозицию функций f è g.

Теорема 2.2. Если lim f(x) = b, lim g(x) = c и f(x) 6= b в некоторой

x→a x→b

проколотой окрестности точки a, то lim(g ◦ f)(x) = c.

x→a

Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. Тогда

◦

lim g(y) = c äëÿ ε > 0 δ1 > 0 : y Kδ1 (b) ∩ Y g(y) Kε(c);

y→b

потому g(f(x)) Kε(c).

10

◦

Èòàê, ε > 0 δ > 0 : x Kδ(a) ∩ X g(f(x)) Kε(c). По определе-

lim(g ◦ f)(x) = c.

x→a

Åñëè c = g(b), то формулировка и доказательство предыдущей теоремы упрощаются.

= g(b).

Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. Тогда

произвольное ε > 0. Положим ε1 = |λ|. По определению предела

◦

lim f(x) = b äëÿ ε1 > 0 δ > 0 : x Kδ(a) ∩ X |f(x) − b| < ε1.

x→a

определению предела имеем lim(λf)(x) = λb.

x→a

2. Возьмем произвольное ε > 0. Положим ε1 = ε/2. По определению предела

◦

lim f(x) = b äëÿ ε1 > 0 δ1 > 0 : x Kδ1 (a) ∩ X |f(x) − b| < ε1,

x→a

◦

lim g(x) = c äëÿ ε1 > 0 δ2 > 0 : x Kδ2 (a) ∩ X |g(x) − c| < ε1.

x→a

11

◦

Положим δ = min{δ1, δ2}. Тогда для x Kδ(a) ∩ X справедливы оба

|(f(x) ± g(x) − (b ± c)| = |(f(x) − b) ± (g(x) − c)| ≤ ≤ |f(x) − b| + |g(x) − c| < ε1 + ε1 = ε/2 + ε/2 = ε.

→

min{ε, 1}

3.Возьмем произвольное ε > 0. Положим ε1 = |c| + |b| + 1. По определению предела

◦

lim f(x) = b äëÿ ε1 > 0 δ1 > 0 : x Kδ1 (a) ∩ X |f(x) − b| < ε1,

x→a

◦

lim g(x) = c äëÿ ε1 > 0 δ2 > 0 : x Kδ2 (a) ∩ X |g(x) − c| < ε1.

x→a

◦

Положим δ = min{δ1, δ2}. Тогда для x Kδ(a) ∩ X справедливы оба

◦

Отсюда x Kδ3 (a) ∩ X |g(x)| = |c + (g(x) − c)| ≥ |c| − |g(x) − c| > |c|/2

12

2.5. Общие свойства пределов

Пусть f, g, h : X → R, a предельная точка X.

Теорема 2.5. Функция, имеющая предел в точке, ограничена в неко-

торой ее проколотой окрестности. Точнее, если lim f(x) = b, то для

x→a

любого ε > 0 существует проколотая окрестность точки a, в которой b − ε < f(x) < b + ε.

Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. Тогда

◦

lim f(x) = b äëÿ ε > 0 δ > 0 : x Kδ(a) ∩ X |f(x) − b| < ε.

x→a

◦

Kδ(a) есть искомая проколотая окрестность, так как |f(x) − b| < ε равносильно b − ε < f(x) < b + ε.

Теорема 2.6 (о стабилизации знака). Если lim f(x) = b > 0, то

x→a

f(x) > 0 в некоторой проколотой окрестности точки a.

Доказательство. По предыдущей теореме для ε = b/2 найдется проколотая окрестность точки a, в которой f(x) > b − ε = b/2 > 0.

Теорема 2.7 (о предельном переходе в неравенстве). Если

lim f(x) = b, lim g(x) = c и в некоторой проколотой окрестности точки

x→a x→a

a справедливо неравенство f(x) ≤ g(x), то b ≤ c.

13

Доказательство. Допустим противное: b > c. Тогда lim(f(x)−

x→a

−g(x)) = b − c > 0 и по предыдущей теореме в некоторой проколотой

◦

окрестности Kδ1 (a) справедливо неравенство f(x) − g(x) > 0. По условию

◦

теоремы в некоторой проколотой окрестности Kδ2◦(a) справедливо неравен-

ñòâî f(x) ≤ g(x). Пусть δ = min{δ1, δ2}. Тогда в Kδ(a) должны быть справедливы оба неравенства f(x) > g(x) è f(x) ≤ g(x), что невозможно.

Теорема 2.8 (о сжатой функции). Если lim f(x) = lim g(x) = b и

x→a x→a

в некоторой проколотой окрестности точки a справедливы неравенства

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), то существует lim h(x) = b.

x→a

Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. По теореме 2.5

все три утверждения:

b − ε < f(x),

g(x) < b + ε, b − ε < h(x) < b + ε |h(x) − b| < ε.

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)

◦

Èòàê, ε > 0 δ > 0 : x Kδ(a)∩X |h(x)−b| < ε. По определению

предела имеем lim h(x) = b.

x→a

Определение 2.4. Если lim f(x) = 0, то говорят, что f есть беско-

x→a

нечно малая функция в точке a или при x → a.

Теорема 2.9 (о произведении бесконечно малой функции на

ограниченную). Если lim f(x) = 0, а g(x) ограничена в некоторой проко-

x→a

лотой окрестности точки a, то существует lim(fg)(x) = 0.

x→a

Кратко теорему 2.9 можно сформулировать так: произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. По условию

◦

δ1 > 0, M > 0 : x Kδ1 (a) ∩ X |g(x)| ≤ M.

14