Материал: Методичка 1

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ½ЛЭТИ“

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

(функции одной вещественной переменной)

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ ½ЛЭТИ“

2013

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ½ЛЭТИ“

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

(функции одной вещественной переменной)

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ ½ЛЭТИ“

2013

ÓÄÊ 517.2+517.3(07) ÁÁÊ Â161.1ÿ7 Ì 34

ной): Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ ½ЛЭТИ“, 2013. 104 ñ.

ISBN ?

Пособие является основой курса дисциплины ½Математический анализ“ технических университетов, в нем излагается теория дифференциаль-

ного и интегрального исчисления для функций одной вещественной переменной. Пособие предназначено для студентов технических факультетов, обучающихся по всем направлениям и специальностям.

Издание позволяет студентам самостоятельно и более углубленно изу- чать разделы курса кратко изложенные на лекциях.

ÓÄÊ 517.2+517.3(07) ÁÁÊ Â161.1ÿ7

Рецензенты: кафедра высшей математики СПбГПУ; д-р физ.-мат. наук Н. В. Смородина (СПбГУ).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве печатного учебного пособия

Введение

Данное издание является исправленным и дополненным переизданием учебного пособия [ 1 ] и предназначено для студентов первого курса, приступивших к изучению математического анализа. Авторы полагают, что оно окажется полезным и преподавателям, ведущим практические занятия и читающим лекции на первом курсе.

Âпособии излагается теория пределов, дифференциальное и интегральное исчисления для функций одной вещественной переменной, операционное исчисление, теория числовых и степенных рядов.

Âоснову изложения материала положены пособия [ 2 ] и [ 3 ] изданные

на кафедре высшей математики 1 СПбГЭТУ ½ЛЭТИ“ под редакцией

А. И. Кошелева. Для углубленного изучения, рассмотренных в издании разделов математического анализа рекомендуются учебники [ 4 8 ].

Отметим некоторые стандартные обозначения, принятые в пособии: знак отмечает конец доказательства; знак конец замечания; знак •

конец примера.

1. МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ

1.1. Логическая символика

Пусть α è β некоторые высказывания, т. е. повествовательные пред-

ложения, относительно каждого из которых известно истинно оно или ложно. Для проведения математических рассуждений и сокращения их записи

мы будем применять логические символы: e, , , , , , , используя

которые, можно из данных высказываний строить новые.

Запись eα читается ½ не α“, или ½ не верно, что α“ (e символ отрицания). Запись α β читается ½ из α следует β“, èëè ½ åñëè α, òî β“ ( символ импликации). Запись α β читается ½ α эквивалентно (равносильно) β“, èëè ½ α тогда и только тогда, когда β“, или ½ для того, чтобы α необходимо и достаточно β“ ( символ равносильности). Запись xX : α читается ½ для любого (всякого) элемента x из множества X выполнено (истинно) α“ ( квантор всеобщности). Запись x X : α читается ½ существует элемент x из множества X, для которого выполнено α“ ( квантор существования). Запись α β читается ½ выполнено α èëè β“. Запись α β читается ½ выполнено α è β“.

Всякую теорему можно рассматривать как импликацию α β, ãäå α условие, а β заключение теоремы. Метод доказательства ½ от противного “ основан на равносильности высказываний: α β è eβ eα. Доказательство утверждения α β сводится к доказательству двух утверждений: αβ (необходимость) и β α (достаточность).

3

1.2. Понятие множества. Действия над множествами

Понятие множества интуитивно достаточно ясно. В данном пособии оно не определяется формально, а разъясняется на примерах. Из школьного курса известны многочисленные примеры множеств, в частности, мно-

жество натуральных чисел N; множество целых чисел Z; множество

вещественных чисел R; множество комплексных чисел C.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Если некоторый объект a является элементом множества A (принад-

лежит A), то пишут a A. Åñëè a не является элементом множества A (не принадлежит A), то пишут a 6A.

Множество называется конечным, если число его элементов конечно, и бесконечным в противном случае. Например, {1; 2; 3} конечное множе-

ñòâî, à N бесконечное множество.

Множество тех элементов a A, для которых справедливо некоторое условие P, обозначают {a A | P}.

Множество считается заданным, если указано правило, позволяющее для каждого объекта однозначно определить, является он элементом множества или нет. Например, множество может быть задано перечислением

своих элементов: A = {5; 2; 9}, или указанием характеристического свойст-

âà: {x R | x2 > 1}.

Множество A является подмножеством (частью) множества B или содержится в B (запись A B), если каждый элемент A является элементом B. Очевидно, A A è èç A B, B C следует A C.

Множества A è B называются равными (запись A = B), если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если A B è B A.

Множество A, не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается . Для любого множества A верно A, так как нельзя указать элемент, принадлежащий и не принадлежащий A.

Объединением множеств A è B называется множество

. .

4