Материал: Методичка 1

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Тогда lim β(y) = β(y0) = 0 è

y→y0

g(y) = g(y0) + g0(y0)(y − y0) + β(y)(y − y0).

Заменяя в последнем равенстве y = f(x), y0 = f(x0),

y − y0 = f(x) − f(x0) = f0(x0)(x − x0) + o(x − x0),

получим

g(f(x)) = g(f(x0)) + g0(f(x0))f0(x0)(x − x0) + α(x),

ãäå α(x) = g0(f(x0))o(x − x0) + β(f(x))(f(x) − f(x0)). Остается показать,

÷òî α(x) = o(x − x0). Òàê êàê lim β(f(x)) = β(f(x0)) = β(y0) = 0, òî

x→x0

lim

α(x)

= g0(f(x0)) lim

o(x − x0)

x − x0

x→x0

x − x0

+ lim β(f(x)) lim

f(x) − f(x0)

= g0(f(x

))

0 + 0

) = 0.

x→x0

x − x0

Èòàê, g(f(x)) = g(f(x0)) + g0(f(x0))f0(x0)(x − x0) + o(x − x0) или, что то же самое, (g ◦f)(x0) = (g ◦f)(x0) + g0(f(x0))f0(x0)(x−x0) + o(x−x0). Ïî

определению 4.1 суперпозиция g ◦ f дифференцируема в точке x0

(здесь

A = g0(f(x0))f0(x0)). Следовательно, по предложению 4.1 существует

(g ◦ f)0(x0) = g0(f(x0))f0(x0).

f−

Теорема 4.2 Пусть функция f : X → R имеет обратную функцию

: f(X)

X. Если функция f дифференцируема в точке

→ 1

непрерывна в точке y

= f(x0), то функция f−

f0(x ) = 0 è f−

диффе-

ренцируема в точке y0 è (f−

)0(y0) = (f0(x0))−

Доказательство. Òàê êàê y0 = lim f(x), òî y0 есть предельная точка

x→x0

f(X). По условию f(x) = f(x

) + f0(x

)(x

−

) + o(x

). Обозначим

f(x) = y,

f0(x

1−

) = A. Тогда y = y

+ A(f−

(y)

−

f−

)) + o(x

−

)

Отсюда находим f−

(y) = f−

) + A−

−

A− o(x

−

). Покажем,

÷òî (

o(x

)) = o(y

−1

−

A−

−

). Òàê êàê f−

непрерывна в y

, òî lim x =

→

= lim f−1(y) = f−1(y

) = x

, ò. å. x

→

ïðè y

→

. Отсюда

→

lim

−o(x − x0)

lim

o(x − x0)

lim

x − x0

= 0.

f(x) − f(x0)

−A

· A

y→y0

A(y − y0)

−A x→x0

x − x0

x→x0

Èòàê, f−1(y) = f−1(y

) + A−1(y

) + o(y

−

y0). По определению 4.1

f−

−1

1). По предложению 4.1

дифференцируема в y0 (здесь A−

= (f0(x0))−

существует (f−1)0(y0) = (f0(x0))−1.

и верны равенства:

Замечание 4.2. Åñëè f0(x0) = 0, òî f−1

не может быть дифферен-

y0. Действительно, допустим противное. Из равенства x X

цируемой в

(f−

◦ f)(x) = x и теоремы 4.1 следует, что

(f−1 ◦ f)0(x0) = (f−1)0(y0) f0(x0) = 1.

Это противоречит условию f0(x0) = 0.

; arcctg0(x) =

Пример 4.2. 1. Äëÿ âñåõ x

R arctg0(x) =

1 + x2

= −

1 + x2

2. Äëÿ âñåõ x (−1; 1)

arcsin0(x) =

√

; arccos0(x) = −√

1 − x

Докажем эти формулы, используя теорему 4.2 .

1. arctg0(x) =

cos2(arctg(x)) =

tg0(arctg(x))

1 + tg2(arctg(x))

. Аналогично, arcctg

0(x) = −

1 + x2

2. arcsin0(x) =

sin0(arcsin(x))

cos(arcsin(x))

√

. Аналогично, arccos0(x) = −√

. •

1 − sin2(arcsin(x))

1 − x2

4.3. Правила вычисления производных

Теорема 4.3. Если функции f, g : X → R дифференцируемы в точке x0 X и c R, то функции cf, f ± g, fg, 1/g и f/g (при g(x0) 6= 0) дифференцируемы в точке x0

1)(cf)0(x0) = cf0(x0);

2)(f ± g)0(x0) = f0(x0) ± g0(x0);

3)(fg)0(x0) = f0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0);

g0(x0)

(x0) = −

;

g2(x0)

) =

f0(x0)g(x0) − f(x0)g0(x0)

g2(x0)

Доказательство. По условию теоремы

(

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + o(x − x0), g(x) = g(x0) + g0(x0)(x − x0) + o(x − x0).

Òàê êàê

1. Умножая f íà c, получим:

cf(x) = cf(x0) + cf0(x0)(x − x0) + c · o(x − x0).

c o(x − x0) = o(x − x0), òî (cf)(x) = (cf)(x0) + cf0(x0)(x − x0)+ +o(x − x0), ò. å. cf дифференцируема в точке x0 è (cf)0(x0) = cf0(x0).

±g(x0) + f0(x0) ± g0(x0) (x − x0) + o(x − x0) ± o(x − x0). Òàê		o(x−
2. Складывая или вычитая f è g, получим: f(x) ± g(x) =		f(x0)±

êàê

−x0) ± o(x − x0) = o(x − x0), òî

(f ± g)(x) = (f ± g)(x0) + f0(x0) ± g0(x0) (x − x0) + o(x − x0),

ò.å. f ± g дифференцируема в x0 è (f ± g)0(x0) = f0(x0) ± g0(x0).

3.Умножая f íà g, получим:

f(x)g(x) = f(x0)g(x0) + f0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0) (x − x0) + α(x),

ãäå

α(x) = f(x0)o(x − x0) + g(x0)o(x − x0) + f0(x0)g0(x0)(x − x0)2+

+f0(x0)(x − x0)o(x − x0) + g0(x0)(x − x0)o(x − x0) + o(x − x0)o(x − x0).

Так как из правил 1 3 действий с асимптотическими оценками α(x) = = o(x − x0), òî

(fg)(x) = (fg)(x0) + f0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0) (x − x0) + o(x − x0),

ò.å. fg дифференцируема в x0 è (fg)0(x0) = f0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0).

4.Òàê êàê äëÿ h(x) = 1/x, h0(x) = −1/x2 ïðè x 6= 0 (см. пример 4.1),

то по теореме 4.1 имеем:

1		0					g0(x0)
			(x0) = (h ◦ g)0	(x0) = h0	(g(x0))g0	(x0) = −		.
	g						g2(x0)

По предложению 4.2 функция 1/g дифференцируема x0.

5. Применяя правила вычисления производных 3 и 4, имеем

(x0) = f

(x0) = f0

(x0)

g(x0)

+f(x

)

g0(x0)

f0(x0)g(x0) − f(x0)g0(x0).

−

g2(x0)

Из предложения 4.2 следует, что f/g дифференцируема в x0. Напомним производные простейших функций. Для всех x из области

определения:

1) (xα)0 = αxα−1;

4)	sin0(x) = cos(x);
	1
6)	tg0(x) =		;
		cos2(x)
8)	arcsin0(x) =		1

√

1 − x2

10) arctg0(x) = 1

1 + x2 ;

2)	(ax)0 = ax ln a;								3) loga0 (x) =	1	;

										x ln(a)
5)	cos0(x) =		sin(x);							x ln(a)
5)	cos0(x) =	−	sin(x);
		−	1
7)	ctg0(x) = −		1			;

			sin2(x)
; 9)	arccos0(x) = −√				1				;
; 9)	arccos0(x) = −√							2	;
11) arcctg0(x) = −				1 −1			x
11) arcctg0(x) = −				1 + x2				.

4.4. Понятие экстремума функции. Теорема Ферма

Определение 4.4. Пусть f : X → R, x0 X. Говорят, что функ-

ция f в точке x0 достигает: 1) максимума (минимума), если x0 ïðå-

◦

дельная точка X, и существует ε > 0 такое, что для любого x Kε (x0)∩ ∩X выполнено f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)); 2) экстремума, если f в точке x0 достигает максимума или минимума; 3) наибольшего (наименьшего) значения, если для любого x X f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)). Точки, в которых f достигает максимума (минимума, экстремума) называются

точками максимума (минимума, экстремума) функции f.

Пример 4.3. Функция f : [−1; 2) → R, f(x) = x2 достигает максиму- ма в точке x = −1; достигает минимума и наименьшего значения в точке x = 0. Наибольшего значения функция f не достигает. •

Теорема 4.4 (Ферма). Пусть f : X → R, x0 X. Åñëè x0 предель-

ная слева и справа точка X; существует ε > 0 такое, что для любого

◦

x Kε (x0) ∩ X выполнено f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)), и существует f0(x0), òî f0(x0) = 0.

Доказательство. Òàê êàê äëÿ x (x0 − ε; x0) ∩ X по условию

f(x) − f(x0) ≥ 0 (≤ 0), x − x0

то по теореме 2.7 о предельном переходе в неравенстве получаем

lim	f(x) − f(x0)	= f0(x	)	0( 0).
	x − x0
x→x0−0		0		≥ ≤

Òàê êàê äëÿ x

; x

−

ε)

∩

X по условию

f(x) − f(x0)

≤

0 (

≥

0), òî

x − x0

lim

f(x) − f(x0)

= f0

)

≤

0 (

≥

0). Следовательно, f0(x

) = 0.

x→x0+0

x − x0

Из доказанной теоремы вытекает следующее следствие.

Следствие 4.1. Если в точке x0, предельной слева и справа для множества X, функция f достигает максимума (минимума, наибольшего или наименьшего значения) и существует f0(x0), òî f0(x0) = 0.

4.5. Теоремы о среднем (Ролля, Коши, Лагранжа)

Теорема 4.5 (Ролля). Пусть функция f : [ a, b ] → R непрерывна на [ a, b ] и дифференцируема в любой точке из (a, b). Если f(a) = f(b), то

существует точка x0 (a, b) такая, что f0(x0) = 0.
Доказательство. Пусть M = sup f(x) è m =	inf f(x) соответс-
x [ a,b ]	x [ a,b ]

венно наибольшее и наименьшее значения функции f íà [ a, b ]. По теореме

3.4 существуют x1, x2 [ a, b ]: f(x1) = M, f(x2) = m. Åñëè M = m, то функция f постоянна на [ a, b ], а потому x0 (a, b) f0(x0) = 0. Пусть

M > m. Òàê êàê f(a) = f(b), то хотя бы одна из точек, x1 èëè x2, ïðè-

надлежит (a, b). Обозначим ее x0. Тогда в точке x0 функция f достигает

наибольшего или наименьшего значения, и по следствию 4.1 из теоремы Ферма f0(x0) = 0.

Теорема 4.6 (Коши). Пусть функции f, g : [ a, b ] → R непрерывны на [ a, b ] и дифференцируемы в любой точке из (a; b). Если x (a; b)

g0(x) = 0, то существует точка x			0	(a, b) такая, что	f(b)	− f(a)		=
g0(x) = 0, то существует точка x				(a, b) такая, что	g(b)	− f(a)		=
	6				g(b)	−	g(a)
	f0(x0)					−
=	f0(x0)	(формула Коши).
=	g0(x0)	(формула Коши).
	g0(x0)

Доказательство. Отметим сразу, что g(a) 6= g(b), так как иначе по теореме Ролля x0 (a, b) g0(x0) = 0, что противоречит условию.

Рассмотрим функцию F : [ a, b ] → R, F (x) = f(x) − kg(x), k R. Она непрерывна на [ a, b ] как разность двух непрерывных на [ a, b ] функций и дифференцируема на (a, b) по тем же соображениям. Подберем число k так, чтобы F (a) = F (b), ò.å. f(a) − kg(a) = f(b) − kg(b). Отсюда находим

k = f(b) − f(a). Функция F удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. g(b) − g(a)

Поэтому x0 (a, b) F 0(x0) = f0(x0) −kg0(x0) = 0. Отсюда получаем, что

k= f0(x0) = f(b) − f(a). g0(x0) g(b) − g(a)

Теорема 4.7 (Лагранжа). Пусть функция f : [ a, b ] → R непрерывна на [ a, b ] и дифференцируема в любой точке из (a, b). Тогда существует точка x0 (a, b) такая, что

f(b) − f(a) = f0(x0)(b − a)

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных