Материал: Методичка 1

Возьмем δ = min{δ1, δ2}, тогда Π c d(Π) < δ выполнено

a

Доказательство. 1) По теоремам 6.5 , 6.3 и предложению 6.1 , имеем

2) аналогично; 3) следует из 1)и 2).

Следствие 6.2. Если функции f и |f| интегрируемы на [ a, b ] , то

ZZ

50

Доказательство. Как известно, x [ a, b ] имеет место неравенство −|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|. Тогда по теоремам 6.5 и 6.3

b

и, так как по следствию 6.1 R |f(x)| dx ≥ 0, òî

a

ZZ

a a

Теорема 6.6 (о cреднем для интеграла ). Если функция f непре-

Доказательство. По теореме Вейерштрасса 3.4 функция f ограничена на [ a, b ], это означает что x [ a, b ] m ≤ f(x) ≤ M, где m наименьшее значение функции f, а M наибольшее значение f. По следствию 6.1

RR R

полагаем f(x) dx = − f(x) dx, f(x) dx = 0.

b a a

Замечание 6.1. Для интегралов от b до a остаются справедливыми предложение 6.1 и теоремы 6.3, 6.6. Из теоремы 6.4 следует, что при любом

51

Пусть, например, α < β < γ, тогда по теореме 6.4 и определению 6.5 имеем

6.3.Интеграл с переменным верхним пределом. Первообразная

Определение 6.6. Пусть функция f кусочно-непрерывна на [ a, b ].

x

R

Функция F : [ a, b ] → R, F (x) = f(t) dt называется интегралом с пере-

a

менным верхним пределом.

Теорема 6.7. Функция F непрерывна на [ a, b ].

Доказательство. Пусть x0 [ a, b ] тогда по определению 6.5 и заме- чанию 6.1

Пусть M = sup |f(x)|, тогда по следствиям 6.1 и 6.2 при x > x0

x [a,b]

ZZ

52

Теорема 6.8 (Барроу). Пусть x0 точка непрерывности функции f, тогда F 0 (x0) = f(x0), ò. å.

x 0

Z

f(t) dt (x0) = f(x0).

a

Доказательство. Òàê êàê f кусочно-непрерывна и x0 точка непре- рывности функции f, то можно выбрать ε > 0 так, что на интервале (x0− −ε, x0 + ε) функция f будет непрерывна. Возьмем произвольное x (x0− −ε, x0 + ε) . По теореме 6.6

x

Z

F (x) − F (x0) = f(t)dt = f(c)(x − x0),

x0

ãäå c лежит между x0 è x. По теореме о пределе сжатой функции 2.8 c → x0 ïðè x → x0 и, следовательно,

Значит F 0 (x0) = f(x0).

Замечание 6.2. Через ha, bi будем обозначать промежуток, когда он может быть и открытым и замкнутым, при этом a может равняться −∞, а b может равняться +∞.

Определение 6.7. Пусть функция f кусочно-непрерывна на ha, bi. Всякая непрерывная на ha, bi функция G такая, что G0 (x) = f(x) â êàæ-

дой точке непрерывности функции f, называется первообразной к функции f на ha, bi.

Теорема 6.9. Если функция f кусочно-непрерывна на [ a, b ], то она имеет на [ a, b ] первообразную.

Теорема 6.10. Пусть функции Φ и G первообразные к непрерывным на ha, bi функциям f и g, α, β-постоянные. Тогда функция αΦ + βGпервообразная к функции αf + βg на ha, bi.

Доказательство. Функция αΦ+βG непрерывна как линейная комбинация непрерывных функций, и для любого x ha, bi выполнено

(αΦ + βG)0 (x) = αΦ0 (x) + βG0 (x) = αf(x) + βg(x) = (αf + βg) (x).

53

Теорема 6.11. Пусть функция Φ первообразная к f на ha, bi. Тогда: 1). C R функция Φ + C есть первообразная к f на ha, bi.

2). Если G тоже первообразная к f на ha, bi, то C R такая, что G = Φ + C.

Доказательство. 1). Очевидно что Φ + C непрерывна на ha, bi и в точках непрерывности функции f выполнено равенство (Φ + C)0 (x) = = Φ0 (x) + (C)0 = f(x) + 0 = f(x). Следовательно,

f íà ha, bi.

2). Функция G − Φ непрерывна на ha, bi, как разность непрерывных

функций. В каждой точке непрерывности функции f выполнено (G− −Φ)0 (x) = G0 (x) − Φ0 (x) = f(x) − f(x) = 0. Следовательно, точки разрыва

функции f разбивают ha, bi на интервалы, на каждом из которых G − Φ постоянна и так как G − Φ непрерывна на ha, bi, то она постоянна на всем промежутке ha, bi, ò. å. C R такое, что G − Φ = C èëè G = Φ + C íà ha, bi.

Замечание 6.3. Множество первообразных функций к f íà ha, bi принято называть неопределенным интегралом от функции f и обозначать

RR

f(x) dx. Èòàê, f(x) dx = G(x) + C, ãäå G некоторая первообразная к f íà ha, bi, C R (произвольная постоянная).

6.4. Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 6.12 (Ньютона-Лейбница). Пусть G некоторая первообразная на отрезке [ a, b ] к кусочно-непрерывной функции f, тогда

Замечание 6.4. Удобно писать G(b) − G(a) = G(x) .

a

Определение 6.8. Функция f называется непрерывно дифференци-

руемой на множестве X, если она дифференцируема в каждой точке X и функция f 0 непрерывна на X.

54