Материал: Методичка 1

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

< ε. Отсюда следует, что при любом способе выбора точек ξk [ xk, xk+1 ] формула

				n−1
				Xk
		SΠξ (f) = h			f(ξk)
				=0
есть квадратурная формула.
Выбирая	ξr следующими		тремя	способами:		1) ξk = xk (ðèñ. 6.3);
			0		xk + xk+1	(рис. 6.5), получим три
2) ξk = xk+1	(ðèñ. 6.4); 3) ξk		= xk =
2) ξk = xk+1	(ðèñ. 6.4); 3) ξk		= xk =
y . .			y . .	2		y . .
y . .			y . .			y . .
	.	f(xk+1) ............				.

	.		. .
	.		. .
	.		. .
f(xk) ......... .			. .
.	.		. .
.	.		. .
.
. .			. .
. . .			. . .
..... .....
0 xk xk+1		.x	0 xk xk+1	.x
	Ðèñ. 6.3		Ðèñ. 6.4

			.
f(x0			.
f(x0		) ...........
k			. .
			.
			. .
			. .
			.
			. . .
			.
			.
			. . .
			.
			. . .	.
			.	.
......
	0		xk x0 xk+1	.x
	0		k

Ðèñ. 6.5

квадратурные формулы:

	n−1
	nkP1
1) S ëåâ(f) = h		f(xk) формула левых прямоугольников;
n	=0
	=0
	−	x		+ x
	nP1	x		+ x
2) S ïð(f) = h		f(xk+1) формула правых прямоугольников ;
n	k=0
	k=0
3) S ñð(f) = h	−	f(	k		k+1	) формула средних прямоугольников.
3) S ñð(f) = h	P	f(				) формула средних прямоугольников.
Названия эти	P						f
n	k=0			2
	k=0			2
	связаны с тем, что для положительной функции фор-

ìóëû S ëåâ(f), S ïð(f), S ñð(f) дают площади ступенчатых фигур (см. рис.
n	n	n

6.3 6.5).

Другой способ получения квадратурной формулы заключается в заме-

xk+1

не интеграла

f(x) dx на интеграл от линейной функции, задающей

уравнение

(xk, f(xk)) è (xk+1, f(xk+1)):

прямой, которая проходит через точки

xk+1

f(x

) +

(f(xk+1) − f(xk))(x − xk)

dx =

f(xk) + f(xk+1)

h = sòð.

−

Суммируя эти интегралы, получим формулу

f(x0) + f(xn)

n−1

f(xk)!.

Sn = h

òð

Полученная формула	называет-
ся формулой трапеций, так	êàê (ïðè
f(x) > 0)

y . .

f(xk+1) ............................

f(xk) + f(xk+1)

sk =

f(xk)

.........

òð

есть площадь трапеции, боковую сторону

которой

образует

отрезок,

соединяю-

. .

....

0 xk

щий точки (xk, f(xk)) è

(xk+1, f(xk+1))

xk+1 x

Ðèñ. 6.6

(ðèñ.6.6).

Полученная формула является квадратурной, поскольку

S òð =

(S ëåâ + S ïð),

а формулы S ëåâ(f) è S ïð(f)

являются квадратурными и, следовательно

b − a

ε > 0

δ > 0, такое что

n >

S òð

−

< ε.

Если подынтегральная функция дважды непрерывно дифференцируе-

ма на промежутке [a, b], то справедливо следующее предложение.

Предложение 6.2. Пусть J =

dx, M

sup

00 (x) . Тогда

(

)

2 = x [a,b]

S òð

−

≤

M2(b − a)3

12n2

Доказательство. Сначала

оценим

-модуль разности между инте-

f(0)+f(h)

гралом J = R0

f(x) dx è S òð = h

. Напишем уравнение прямой,

ïðî-

ходящей через точки (0, f(0)) è (h, f(h)): y

= f(0) + (f(h) − f(0))

рассмотрим дважды дифференцируемую функцию

ϕ(x) = f(x) − y − Kx(x − h) = f(x) − f(0) − (f(h) − f(0))

− Kx(x − h).

Подстановкой легко проверяется, что ϕ(0) = ϕ(h) = 0. Возьмем произвольную точку ξ (0, h) и потребуем, чтобы ϕ(ξ) = 0. Это справедливо, если

K(ξ) = h (f(ξ) − f(0)) − ξ (f(h) − f(0)). hξ(ξ − h)

Èòàê, äëÿ 0 < ξ < h ϕ(0) = ϕ(ξ) = ϕ(h) = 0. Применяя к функции ϕ(x)

теорему Ролля 4.5 на отрезках [0, ξ] è [ξ, h], получаем, что существуют точки c1 (0, ξ) è c2 (ξ, h) такие, что ϕ0 (c1) = ϕ0 (c2) = 0. Òàê êàê

A→+∞ a

0 = ϕ00 (c) = f 00 (c) − 2K,

ϕ0 (x) - дифференцируемая функция, то по теореме Ролля 4.5 получим, чтоc (c1, c2) (0, h) такая, что ϕ00 (c) = 0. Значит

откуда K =

f 00 (c)

и, следовательно, c (0, h):

f(ξ) − y = ϕ(ξ) + K(ξ)ξ(ξ − h) = K(ξ)ξ(ξ − h) =

f 00 (c)

− h).

ξ(ξ

Тогда, в силу произвольности ξ, x (0, h)

f(x)

−

|f 00 (c)|

x(x

−

| ≤

x(x

−

h (f(x)

y) dx

h M2

x(x

dx =

hx(h

x) dx =

M2h3

−

≤ Z

−

Рассмотрим

теперь промежуток

, разобьем его на n частей

[a, b]

h =

−n

и применим на каждом промежутке [xk, xk+1] полученную

выше оценку:

S òð

n−1

(b − a)3

M2(b − a)3

n−1 1 =

M2(b − a)3

n −

≤

12n3

12n2

7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

7.1. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку Определение 7.1. Пусть функция f кусочно-непрерывна на [ a, +∞).

					A		) и обозначается
венным интегралом от функции fRïî [ a, +							) и обозначается
Если существует конечный				lim f(x) dx, то он называется несобст-
			A→+∞ a			∞
+∞						∞
+∞					A
Za	(	x	)	dx	= A→+∞ Za	f(x) dx.
f		x		dx	lim	f(x) dx.

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f

интегрируема на [ a, +∞). Если lim	A
интегрируема на [ a, +∞). Если lim	f(x) dx не существует или беско-
нечен, то говорят, что	R

несобственный интеграл расходится.

Пусть	функция f кусочно-непрерывна на									(−∞, a ].	Если существует
Пусть	a									(−∞, a ].
конечный	lim f(x) dx, то он называется несобственным интегралом
B→−∞ B			, a ] и обозначается
от функции f поR(		−∞	, a ] и обозначается
		−∞	a					a
			a					a
			f	(	x	)	dx	lim	f(x) dx.
			Z	(		)		= B→−∞ Z
		−∞						B

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f

интегрируема на (−∞, a ]. Если Blim

f(x) dx не существует или беско-

→−∞ B

нечен, то говорят, что

несобственный интеграл расходится.

+∞ dx

Пример 7.1.

сходится при λ > 1 и расходится при λ

xλ

−

λ A

−

− 1

≤

Действительно, при λ = 1,

. Следователь-

íî,

xλ

1 −

λ 1

1 − λ

1. Åñëè λ > 1, òî

lim

A1−λ = 0

lim

xλ = λ − 1

A→+∞

A→+∞ Z1

и значит

+∞ dx

xλ сходится.

Åñëè

λ < 1, òî

lim

A1−λ = +

lim

= +

A→+∞

∞ A→+∞ Z1

xλ

∞

+∞ dx

xλ

расходится.

3. Åñëè λ = 1, имеем

= A→+∞

| | 1

A→+∞

∞

A→+∞ Z

lim

ln x

lim ln A = +

+∞ dx

значит

расходится. •

Теорема 7.1. Пусть функции f и g интегрируемы на [ a, +∞) и α, β R, тогда функция αf + βg интегрируема на [ a, +∞) и справедливо равенство

+∞		+∞		+∞
Za	(αf + βg) (x) dx = α	Za	f(x) dx + β	Za	g(x) dx.

Доказательство следует из определения 7.1 и линейности определенного интеграла и предела.

Теорема 7.2 Пусть b > a, тогда несобственные интегралы

+∞

f(x) dx è	f(x) dx сходятся или расходятся одновременно. Если они
a	b
сходятся, то справедливо равенство
	+∞		Z	b	+∞
	Z	f(x) dx =	Z	f(x) dx +	Z	f(x) dx.
	a		a		b

Доказательство следует из аддитивности определенного интеграла по промежутку.

Теорема 7.3 1. Если F первообразная к функции f на [ a, +∞), то остается справедливой формула Ньютона-Лейбница в виде

+∞

Z	f	x	)	dx	=	F	x	) a	lim F (x)	−	F (a).
Z	(		)		=	(		) a	= x→+∞	−
a

2. Пусть функции u и v - непрерывно дифференцируемы на [ a, +∞).

+∞

Если сходятся несобственные интегралы

u(x)v0 (x) dx è

u0 (x)v(x) dx,

по частям

то справедлива формула интегрирования R

+∞

u x

lim

(u(x)v(x))

−

a v

) − Za

dx.

( )

(

)

= x→+∞

(

) (

(

)

(

)

Доказательство следует из формулы Ньютона-Лейбница и формулы

интегрирования по частям для определенного интеграла.

+∞

Определение 7.2.

Если сходится

несобственный интеграл

+∞

|f(x)| dx, то говорят, что несобственный интеграл

f(x) dx ñõî-

дится абсолютно. Функция называется абсолютно интегрируемой на

[ a, +∞).

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных