Материал: конспект физика

За третім законом Ньютона

,

тому два доданки у правій частині (2.23) взаємно знищаться:

,

оскільки вектори і колінеарні.

Якщо ввести такі позначення:

, , , ,

то формулу (2.23) можемо записати у вигляді

. (2.24)

Коли зовнішні сили не діють (F₁=F₂=0, і як наслідок N₁=N₂=0), то вираз (2.24) набуває вигляд

.

А раз похідна від величини дорівнює нулю, то сама величина не змінюється з часом:

. (2.25)

2.8.2. Величина, яка дорівнює векторному добутку радіус-вектора матеріальної точки (частинки) на її імпульс:

,

називається моментом імпульсу частинки відносно точки (початку системи координат).

2.8.3. Величина, яка дорівнює векторному добутку радіус-вектора матеріальної точки (частинки) на силу, яка діє на неї:

,

називається моментом сили відносно точки (початку системи координат), що діє на частинку. Момент сили характеризує здатність сили обертати тіло навколо точки, відносно якої він береться.

Моменти імпульсу та сили – адитивні величина: момент імпульсу (сили) системи матеріальних точок є сумою моментів імпульсу (сили) кожної частинки.

Вираз (2.25) є математичним записом закону збереження момента імпульсу для системи двох матеріальних точок.

2.8.4. Закон збереження момента імпульсу: якщо на систему матеріальних точок не діють моменти зовнішніх сил, то сумарний момент імпульсу системи матеріальних точок не змінюється:

. (2.26)

2.8.5. Проекція вектора момента імпульсу матеріальної точки на деяку вісь z є скалярною величиною, яка називається моментом імпульсу матеріальної точки відносно осі z. Позначають:

,

де φ – кут між вектором і віссю z.

2.8.6. Момент сили відносно осі – це скалярна величина, яка дорівнює проекції вектора на вісь z:

,

де φ – кут між вектором і віссю z.

2.8.7. Приклади

Рис. 2.9

1. Момент імпульсу точки маси , яка рухається по колу радіусу r.

Момент імпульсу частинки відносно центра кола О дорівнює за модулем:

M = m v R.

Вектор перпендикулярний до площини кола. Напрям вектора і напрямок руху частинки утворює правогвинтову систему. При рівномірному русі частинки по колу момент імпульсу залишається постійним і за модулем, і за напрямком.

2. Момент імпульсу точки маси , яка рухається по прямій.

Рис. 2.10

Нехай частинка рухається вздовж прямої, показаної пунктиром на рис. 2.10. З рисунка видно, що модуль вектора момента імпульсу частинки дорівнює

M = m v r sin = m v l,

де l = r sin – довжина перпендикуляра, який опущено із точки О на пряму, вздовж якої рухається частинка. Ця довжина називається плечем імпульсу відносно точки О. Вектор перпендикулярний до площини рисунка і перетинає цю площину у точці О.

2.8.8. Парою сил називають рівні за модулем і протилежно направлені сили, які не діють вздовж однієї прямої. Відстань l між прямими, вздовж яких діють сили, називається плечем пари сил. Сумарний момент сил, які утворюють пару сил, однаковий відносно будь-якої точки простору, направлений перпендикулярно до площини, у якій лежать сили, і чисельно дорівнює добутку модуля будь-якої сили на плече.

2.9. Динаміка обертального руху

2.9.1. Будь-який рух твердого тіла можна представити як накладання двох видів руху: поступальний і обертальний рух. Покажемо це на прикладі плоского руху, тобто такого, при якому усі точки тіла переміщуються в паралельних площинах. На рис. 2.11 показано приклад такого руху – кочення циліндра по площині.

Рис. 2.11

Розкладання руху на два компоненти може бути здійснено нескінченним числом способів. На рис. 2.11 показано два приклада такого розкладання:

1) спочатку тіло рухається поступально з положення 1 до положення 2, а потім – обертально навколо осі О₁ з положення 2 до положення 4;

2) спочатку тіло рухається поступально з положення 1 до положення 3, а потім – обертально навколо осі О₂ з положення 3 до положення 4.

В обох прикладах обертання відбувається на один і той же кут .

Елементарне переміщення (нескінченно мале) будь-якої точки тіла теж можна розкласти на два переміщення – поступальне й обертальне :

. (2.27)

Переміщення одне й те саме для всіх точок тіла. Розділимо на проміжок часу dt й отримаємо швидкість точки:

.

– однакова для усіх точок тіла, а – різна для всіх точок тіла швидкість, обумовлена обертанням.

Отже, плоский рух твердого тіла можна представити як суму двох рухів – поступального зі швидкістю і кутовою швидкістю .

Елементарне переміщення твердого тіла при плоскому русі завжди можна уявити як обертання навколо деякої осі – миттєвої осі обертання. Наприклад, для циліндра, який котиться, миттєва вісь обертання збігається з лінією дотику циліндра із площиною.

2.9.2. Рух центра інерції твердого тіла. Якщо розбити тверде тіло на елементарні маси m_i , то його можна представити як систему матеріальних точок, взаємне положення яких залишається незмінним.

Запишемо для кожної елементарної маси рівняння другого закону Ньютона:

, (2.28)

де – результуюча всіх внутрішніх сил, а – результуюча всіх зовнішніх сил, прикладених до даної елементарної маси (маса кожної частинки m_i не змінюється тому її можна внести під знак диференціювання). Складемо рівняння (2.28) для всіх елементарних мас і врахуємо, що сума всіх внутрішніх сил дорівнює нулю:

, (2.29)

Праворуч стоїть результуюча всіх зовнішніх сил , що діють на тіло:

. (2.30)

Ліву частину (2.29) перетворимо таким чином, помінявши порядок підсумовування й диференціювання, а також помноживши чисельник і знаменник на масу тіла m = m_i :

. (2.31)

Центр інерції – це така точка, пов’язана з тілом (або системою матеріальних точок), радіус-вектор якої визначається так:

, (2.32)

де m_i і – маса і радіус-вектор матеріальної точки з номером і, що належить тілу; – маса тіла.

Враховуючи вирази (2.30) і (2.31), формулу (2.29) перепишемо так:

. (2.33)

Це означає, що центр інерції твердого тіла рухається так, як рухалася б матеріальна точка з масою, яка дорівнює масі тіла, під дією всіх прикладених до тіла сил.

2.9.3. Основні рівняння динаміки обертального руху. Абсолютно тверде тіло можна розглядати як систему частинок (матеріальних точок) з незмінними відстанями між ними. Для системи, що складалася з двох частинок, було отримане рівняння (2.24)

.

Це рівняння можна узагальнити й на системі багатьох матеріальних точок, а також на абсолютно тверде тіло:

, (2.34)

де являє собою момент імпульсу тіла, а праворуч стоїть сума моментів зовнішніх сил, які діють на тіло.

Рівняння (2.34) – основні рівняння динаміки обертального руху.

Рис. 2.12

Розглянемо обертання тала навколо нерухомої осі. На рис. 2.12 показана траєкторія матеріальної точки (частинки), яка належить тілу, – радіус-вектор цієї точки. Вісь обертання зафіксована у просторі за допомогою підшипників П. Момент імпульсу частинки відносно початку координат (точки О) дорівнює

,

а модуль цього вектора дорівнює

.

Момент імпульсу відносно осі обертання M_zi– це проекція вектора на цю вісь:

, (2.35)

тому що як видно з малюнка, .

Момент імпульсу адитивна величина

,

тому момент імпульсу всього тіла відносно осі дорівнює

, (2.36)

де величина

(2.37)

називається моментом інерції системи матеріальних точок (твердого тіла). Якщо тіло має симетричну форму і обертається навколо нерухомої осі симетрії, то вектори і мають однакові напрямки, тому формулу (2.36) можна записати у векторній формі:

. (2.38)

Підставимо (2.38) у основне рівняння динаміки обертального руху (2.34):

. (2.39)

Величина – кутове прискорення твердого тіла. Рівняння (2.39) справедливе лише для випадку обертання симетричного твердого тіла навколо осі симетрії. Аналогічне рівняння у проекціях на вісь z