Материал: конспект физика

– це сила, з якою Земля притягає до себе будь-яке тіло маси m. Усі тіла (які мають більш обтічну форму, щоб повітря діяло на тіло з найменшою силою тертя) біля поверхні Землі падають з однаковим прискоренням g = 9,8 м/с² – прискоренням вільного падіння.

Сила, з якою тіло діє на опору чи підвіс, називається вагою тіла. Отже фізичні величини вага й маса тіла – зовсім різні величини й мають різні одиниці вимірювання: ньютон (для ваги), кілограм (для маси).

Сила, з якою діє опора чи підвіс на тіло, називається силою реакції опори й позначаються . Сила реакції опори завжди направлена по нормалі до поверхні, на якій знаходиться тіло.

2.4.3. Сили тертя виникають при переміщені тіл (або їхніх частин), які дотикаються одне до одного.

Існує два види тертя: зовнішнє і внутрішнє. Зовнішнє тертя виникає між різними тілами, а внутрішнє – між частинами одного і того ж суцільного тіла (наприклад, рідини або газу), які дотикаються одне до одного і зміщуються одне відносно одного.

Тертя між поверхнями двох твердих тіл за відсутності будь-якого прошарку між ними (наприклад, мастила між ними) називається сухим. Вирізняють сухе тертя ковзання та кочення.

Модуль сили сухого тертя ковзання, яка діє на тіло, що знаходиться на плоскій гладкій поверхні, прямо пропорційний до величини сили реакції опори:

.

Коефіцієнт пропорційності k називається коефіцієнтом тертя, який приймає значення 0<k<1.

Сила тертя виникає не лише при ковзанні тіл одних відносно інших, а й при намаганнях викликати таке ковзання. У останньому випадку сила тертя називається силою тертя спокою.

За малих швидкостях сила в`язкого тертя прямо пропорційна швидкості тіла, яке рухається через в’язке середовище:

F_тер=k₁v.

За великих швидкостях – пропорційна квадрату швидкості:

F_тер=k₂v².

Величина коефіцієнтів залежить від від форми та розмірів тіла.

2.4.4. Сила пружності. Під дією прикладених до тіла сил реальне тіло деформується, тобто змінює свою форму й об’єм. Якщо після припинення дії сили тіло приймає попередні розміри, деформація називається пружною. Пружні деформації спостерігаються у тому випадку, якщо обумовлююча деформація сила не перебільшує деякої, визначеної для кожного тіла межі (межі пружності).

Рис. 2.2

Розглянемо пружину, верхній кінець якої закріплений, а до нижнього приєднано вантаж (див. рис. 2.2). Якщо вантаж змістити на невелику відстань x, то у пружині виникне пружна сила

,

де k – коефіцієнт пружності пружини; знак мінус у правій частині формули вказує на те, що проекція пружної сили на вертикальну вісь і координата x мають різні знаки. Твердження про пропорційність між пружною силою та деформацією має назву закону Гука.

У системі СІ силу вимірюють у ньютонах (Н). Із рівняння другого закону Ньютона випливає, що 1 Н =кгм/с².

2.5. Кінетична енергія, робота, потужність

2.5.1. Представимо прискорення як першу похідну за часом від швидкості і запишемо рівняння другого закону Ньютона:

.

Помножимо скалярно ліву частину цього рівняння на елементарний вектор переміщення , яке матеріальна точка проходить за час dt, а ліву частину – на цей же вектор, але по-іншому записаний, :

. (2.6)

Величина у лівій частині (2.6) називається роботою сили на елементарному переміщенні :

. (2.7)

Ліву частину (2.6) пертворимо таким чином:

. (2.8)

Величина під знаком диференціалу в (2.8) – кінетична енергія T:

.

Отже, (2.6) запишемо так:

dA = dT. (2.9)

Проінтегруємо вираз (2.9) і отримаємо

;

A₁₂ = T₂ – T₁ . (2.10)

З формули (2.10) випливає, що робота усіх сил, які діють на тіло, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла.

Робота, яка здійснюється в одиницю часу, називається потужністю. Якщо за час dt здійснюється робота dA, то потужність дорівнює

. (2.11)

Якщо вираз для роботи dA візьмемо у вигляді лівої частини (2.6) і підставимо у (2.11), то отримаємо для потужності формулу

.

Одиницею вимірювання роботи та кінетичної енергії у системі СІ є джоуль, а потужності – ват:

1 Дж =1 Н1 м, .

2.5.2. Обчислення роботи. Якщо тіло рухається прямолінійно (вздовж вектора переміщення ), а вектор сили у кожній точці траєкторії постійний за напрямком і за модулем, то робота дорівнює скалярному добутку сили на переміщення, як вказує формула (2.7). Якщо маємо обчислити роботу у загальному випадку, коли траєкторія тіла є довільною кривою у просторі, а вектор сили змінюється від точки до точки на траєкторії, то діють таким чином.

1) Розбивають траєкторію на N ділянок (частин) (див. рис. 2.3). Якщо N – досить велике, то можна вважати кожну таку частину траєкторії відрізком довжиною s_i . Вектор переміщення на ділянці з номером і є . Припускають, що сила, яка діє на матеріальну точку в межах однієї ділянки, незмінна й дорівнює ; наприклад, – це сила у початковій точці ділянки.

2) Обчислюють роботу на кожній ділянці А_i за формулою (2.7):

.

3) Підсумовують по усім ділянкам і отримують повну роботу:

.

Рис. 2.3

Щоб збільшити точність розрахунку, виконують ці всі дії при більшому N. У граничному випадку, коли N, сума переходить у інтеграл:

. (2.12)

Межі інтегрування – початкова А та кінцева В точки траєкторії.

У правій частині виразу (2.12) стоїть інтеграл, який називається криволінійним інтегралом другого роду. Цей інтеграл використовується для обчислення роботи при змінній силі. Якщо силу і елементарний вектор переміщення представити через орти і їхні проекції на координатні осі:

, ,

то інтеграл обчислюють таким чином:

. (2.13)

Рис. 2.4

2.5.3. Приклад обчислення роботи за допомогою криволінійного інтегралу другого роду.

Нехай задано проекції сили:

F_x = (x + y)Н/м, F_y = x²Н/м.

Ця сила діє на точку, яка рухається у площині XY по параболі y = x² від т. А (0,0) до т, В (1,1) (див. рис.2.4). Отже, вектор сили є

,

2.6. Потенціальна енергія

2.6.1. Градієнт скалярної функції. Якщо у кожній точці простору задано число φ = φ(x,y,z), то говорять, що задано скалярне поле. Прикладом скалярного поля може бути поле значень температур у кожній точці в об’ємі газу, або значення електричного потенціалу поблизу зарядженого тіла.

Нехай у просторі задано скалярне поле φ = φ(x,y,z) і векторне поле .

Якщо мають місце такі співвідношення:

,

то векторне поле називається градієнтом скалярної функції φ(x,y,z). Величина є частковою похідною функції φ. Часткова похідна – це похідна за однією змінною (у даному випадку, за змінною x) від функції багатьох змінних. Наприклад, від функції Ф(x) = 5cos(xy) +3 x²z – 48y часткова похідна за змінною x дорівнює

.

Позначається градієнт таки чином:

,

– диференціальний оператор “набла”:

.

2.6.2. Приклад на обчислення градієнта

Знайти градієнт від скалярної функції φ(x,y,z) = x²+y²+z².

Рис. 2.6

Розв’язок. Спочатку знайдемо часткові похідні

.

Позначимо вектором градієнт даної функції:

.

На рис. 2.6 радіус-вектор , точка А лежить на поверхні сфери, рівняння якої

φ(x,y,z) =const;

градієнтом функції φ(x,y,z) є подвійний радіус-вектор .

2.6.3. Потенціальне поле

а елементарний вектор переміщення

.

Врахуємо, що y = x² і dy = 2x dx і за формулою (2.13) обчислимо роботу:

.

2.5.4. Консервативні сили. Якщо у кожній точці задано вектор , то говорять, що у просторі задано векторне поле.

Нехай у кожній точці простору на деяку матеріальну точку діє сила, величина і напрямок якої у кожній точці різні. Отже задано поле сил .

Поле сил називається консервативним, якщо робота, яку виконує поле сил при переміщенні точки від положення А до положення В, не залежить від форми траєкторії частинки (шляху інтегрування). В такому випадку:

Рис. 2.5

А₁ = А₂ = А₃,

де А₁ , А₂ , А₃ – робота, обчислена вздовж траєкторій 1, 2, 3 відповідно (див. рис. 2.5).

Робота на замкненому контурі для поля консервативних сил буде дорівнювати нулю.

.

Насправді, оскільки А₁ = А₂ , то робота по замкненому контурі А1В2А

А_А1В2А =А_А1В + А_В2А = А₁ + (–А₂) = 0,

де А_А1В – робота, обчислена вздовж першої траєкторії, А_В2А – робота, обчислена у зворотному напрямку вздовж другої траєкторії.