Материал: конспект физика

Якщо існує градієнт функції , то векторне поле називається потенціальним. Функція φ називається потенціальною функцією.

Теорема

Якщо векторне поле потенціальне, то воно консервативне.

Доведення:

Потрібно довести той факт, якщо векторну функцію можна представити у вигляді градієнта скалярної функції , то робота по замкненому контуру дорівнює нулю: .

Підставимо у формулу для визначення роботи вирази для градієнта та вектора елементарного переміщення й отримаємо:

, (2.14)

оскільки інтегрування ведеться по замкненому контуру, тому ₁ = ₂ , а деякі члени у другому рядку не враховані, тому що в них містяться скалярні добутки різних ортів, які дорівнюють нулю ( ). Теорему доведено.

Завдання. Самостійно довести зворотне твердження: якщо поле консервативне, то воно потенціальне.

2.6.4. Потенціальна енергія – це потенціальна функція з протилежним знаком:

U(x,y,z) = – (x,y,z). (2.15)

Як випливає з формули (2.14), робота консервативного поля сил дорівнює зміні потенціальної функції:

А_конс = ₂ – ₁ . (2.16)

Врахувавши визначення потенціальної енергії (2.15), виразимо роботу консервативних сил через потенціальну енергію:

А_конс = U₁ – U₂ . (2.16)

Сила виражається через потенціальну функцію як

,

а через потенціальну енергію –

.

2.6.5. Приклади потенціальних енергій

Рис. 2.7

1) Поле сил тяжіння Землі. Потенціальна енергія є функцією лише однієї змінної – висоти над поверхнею Землі:

2.7. Закон збереження повної механічної енергії

2.7.1. З одного боку, робота, яку виконують зовнішні консервативні сили, дорівнює мінус зміні потенціальної енергії матеріальної точки (див. ф. (2.16)):

А_конс = U₁ – U₂ . (2.17)

З іншого боку, якщо не діють неконсервативні сили, ця робота дорівнює зміні кінетичної енергії матеріальної точки (див. ф. (2.10)):

А_конс  = T₂ – T₁ . (2.18)

Тож, прирівнюючи праві частини виразів (2.17) і (2.18) та перегруповуючи доданки, отримаємо:

T₂ + U₂ = T₁ + U₁ .

Отже, величина Е= T + U зберігається, якщо на матеріальну точку діють лише консервативні сили.

Величину Е, яка дорівнює сумі кінетичної та потенціальної енергій частинки, називають повною механічною енергією:

E=T+U.

2.7.2. Закон збереження повної механічної енергії: Повна механічна енергія матеріальної точки зберігається, якщо на матеріальну точку діють лише консервативні сили:

Е = const.

2.7.3. Приклад. Перевіримо закон для вільно падаючих тіл у полі тяжіння землі. Продиференцюємо вираз для кінетичної енергії і зробимо деякі перетворення:

.

Отже, ми отримали, що похідна за часом від кінетичної енергії дорівнює з протилежним знаком похідній від потенціальної енергії:

. (2.19)

Згадаємо, що похідна за часом від будь-якої величини є швидкістю зміни цієї величини. Тому швидкість збільшення кінетичної енергії дорівнює швидкості зменшення потенціальної енергії. Або, якщо помножимо ліву і праву частини виразу (2.19) на елементарний час dt, і по інтегруємо від початкового до кінцевого моменту часу, то отримаємо, що зміна потенціальної енергії U дорівнює зміні кінетичної енергії (з протилежним знаком), тобто:

Δ ΔT.

Отже, закон збереження повної механічної енергії для тіл, які падають вільно у полі тяжіння Землі виконується.

2.7.4. Закон збереження повної механічної енергії для механічної системи: повна механічна енергія системи тіл, на які діють лише консервативні сили, залишається постійною:

Е = T+U_вз+U_зов = сonst,

де Т – сума кінетичних енергій усіх тіл, U_вз – потенціальна енергія взаємодії всередині системи, U_зов – сума потенціальних енергій усіх тіл у зовнішньому полі сил. Закон виконується і для систем, які складаються із тіл, які не можна вважати матеріальними точками.

2.7.5. Робота неконсервативних сил. Розглянемо загальний випадок, коли на матеріальну точку діють як консервативні, так і неконсервативні сили:

. (2.20)

U = mgh.

Переконаємося у тому, що це консервативне поле. Для цього обчислимо роботу вздовж замкненого контуру ABCDА (див. рис. 2.7).

Робота на відрізку АВ – –mgh; BC та DА – A = 0; на CD – mgh. Отже, робота вздовж замкненого контуру ABCDА дорівнює нулю:

.

2) Потенціальна енергія пружно стиснутої пружини:

.

Величини k і x визначені у пункті 2.3.4.

Одиниця вимірювання потенціальної енергії – джоуль (Дж).

2.6.6. Потенціальна енергія механічної системи (системи матеріальних точок) – це частина механічної енергії системи, яка залежить лише від взаємного розташування частинок системи та їхнього положення зовнішньому силовому полі.

Якщо будь-які дві частинки всередині системи взаємодіють між собою із силами, модулі яких залежать лише від відстані між ними, то всі сили всередині системи будуть консервативними і потенціальна енергія механічної системи складається з двох частин: U_вз – потенціальної енергії взаємодії між частинками системи (внутрішня потенціальна енергія) і U_зов – потенціальної у зовнішньому консервативному силовому полі.

2.8. Закон збереження момента імпульсу

2.8.1. Розглянемо систему, що складається із двох матеріальних точок масами m₁ і m₂ Ці точки взаємодіють між собою із силами , , а також знаходяться у полі зовнішньої сили: , – зовнішні сили.

Рис. 2.8

Запишемо рівняння другого закону для двох точок:

| ,

| .

В екторно помножимо перше рівняння на радіус вектор першої точки , а друге – на радіус вектор другої точки :

,

.

Додамо ці два рівняння, перед тим представивши ліві частини обох рівнянь як першу похідну за часом від такого векторного добутку:

.

Тут перший векторний добуток дорівнює 0, оскільки (див. п. 1.9.2). Така заміна справедлива і для другого рівняння. Отже, після додавання отримаємо:

. (2.23)

Загальна робота консервативних і неконсервативних сил є зміною кінетичної енергії (див. ф. (2.10)):

. (2.21)

З іншого боку, обчислимо цю роботу, використавши вираз (2.20):

 = А_консер+А_{неконсер} . (2.22)

Об’єднуючи вирази (2.21) і (2.22), а також врахувавши, що  = U₁ – U₂ , маємо

У

Т₂ – Т₁ =  U₁ – U₂ +А_{неконсер} ,

звідки

= .

Отже, робота неконсервативних сил дорівнює зміні повної механічної енергії:

.

Приклад неконсервативної сили – сила тертя.