Материал: конспект физика

1.8. Кутові швидкість та прискорення

Обертальний рух – це рух, при якому усі точки тіла рухаються по колах, центри яких лежать на одній прямій – осі обертання. Вісь обертання може проходити через тіло. Тоді точки, які лежать на осі обертання не здійснюють рухів по колу.

Розглянемо обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. В ролі координати тіла при такому обертанні виступає кут, який показує, наскільки повернулося тіло від початкового положення.

Такий обертальний рух описує вектор повороту – це векторна величина, модуль якої чисельно рівний куту в радіаній мірі, а напрямок – паралельний осі обертання і визначається правилом правого гвинта. Лише для поворотів на незкінченно малі кути можна вводити поняття вектора повороту.

Рис. 1.10

На рис. 1.10 показана точка А, що належить твердому тілу. Після обертання тіла на кут  ця точка перейде у положення А. Вектор повороту лежить на осі обертання.

Правило правого гвинта. Розташуємо поряд із тілом, що обертається, праворізьбовий гвинт, як показано на рис. 1.10. Вісь гвинта паралельна осі обертання тіла. Якщо ми дивимося на гвинт з боку його шляпки, то обертання шляпки гвинта

за годинниковою стрілкою викличе потупальний рух гвинта “від нас”. За таким правилом обирають один напрямок вектора з двох можливих взовж осі обертання.

Кутова швидкість – це перша похідна за часом від кута повороту:

.

Одиницею вимірювання кутової швидкості у системі СІ є радіан, поділений на секунду – рад/с.

Фізичний зміст кутової швидкості. Кутова швидкість – це фізична величина, яка вказує, як з часом змінюється положення (орієнтація у просторі) тіла. Кутова швидкість характеризує не тільки зміну у часі кута, на який повернеться тіло, а й зміну положення у просторі осі обертання тала.

Кутове прскорення – перша похідна за часом від кутової швидкості (або друга похідна від вектора повороту):

.

Одиницею вимірювання кутового прискорення у системі СІ є радіан, поділений на секунду в квадраті – рад/с².

Фізичний зміст прискорення. Кутове прискорення – це фізична величина, яка вказує, як з часом змінюється кутова швидкість тіла.

Якщо кутова швидкість стала величина (ω=const), то обертальний рух називається рівномірним. Кутова швидкість у цьому випадку

,

де  – кут, на який повернулося тіло за час t.

Якщо = const – рух рівноприскорений обертальний.

Період обертання T– це час, за який тіло здійснює один повний оберт. Частота обертання – це кількість обертів за одиницю часу:

.

Кутова швидкість повязана із частотою обертання такою формулою:

 = 2  v.

Одиниця вимірювання частоти – с^–1.

Приклад. Колесо, обертаючись рівноприскорено, досягло кутової швидкості через N оборотів після початку руху 20 рад/c. Знайти кутове прискорення колеса.

Розв’язок. Рівноприскорений обертальний рух описується формулами

, .

Один оберт (N=1) відповідає куту повороту =2, а N обертів – =2 N. Оскільки обертання колеса починається зі стану спокою, то ₀ = 0 рад/с і замість (2.1) з (2.2) запишемо систему алгебраїчних рівнянь двох змінних t i  і вирішимо її:

1.9. Скалярний та векторний добуток векторів

Скалярний та векторний добуток векторів дуже важливі у фізиці. Багато фізичних величин є скалярними чи векторними добутками від інших величин. Якщо два вектора перемножимо скалярно, то отримаємо число (скалярну величину), а якщо перемножимо векторно – вектор.

1.9.1. Скалярний добуток векторів

Нехай є два вектори і :

,

.

Скалярний добуток цих векторів позначається або і дорівнює сумі добутків відповідних компонент двох векторів:

.

Скалярний добуток векторів і дорівнює добутку модулів двох векторів r і  на косінус кута між векторами :

.

Властивості скалярного добутку:

1) множники можна переставляти місцями ;

2) можна розкривати дужки ;

3) якщо вектори ненульової довжини (0 та R0) та їхній скалярний добуток , то ці вектори взаємно перпендикулярні .

1.9.2. Векторний добуток векторів

Розглянемо знову введені раніше вектори і . Векторним добутком цих векторів є такий вектор (див. рис. 1.11), який задовольняє таким умовам:

1) модуль вектора дорівнює добутку модулів векторів і на синус кута між ними ;

2) і , тобто вектор перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори і ;

3) трійка векторів , і – права у правій системі координат.

Трійкою векторів будемо називати задані у певній послідовності три некомпланарні (які не лежать в одній площині) вектори.

Трійка векторів , і називається правою, якщо дивимося із кінця вектора і бачимо найкорочше обертання від до , що відбувається проти годинникової стрілки. Декартова система координат називається правою, якщо складена з ортів системи координат трійка векторів є правою.

Векторний добуток позначається квадратними дужками або знаком “”:

.

Властивості векторного добутку:

1) важливим є порядок множників (тобто вектори, що визначаються векторними добутками і мають протилежний напрямок);

2) модуль векторного добутку векторів і чисельно рівний площі паралелограма, утвореного цими векторами (див. рис. 1.11):

;

Рис. 1.11

3) векторний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю , якщо вектори паралельні. Символ позачає нульовий вектор (усі три проекції вектора на координатні осі дорівнюють нулю).

Інколи векторний добуток двох векторів і представляють у вигляді визначника, верхній рядок якого складається з ортів координатних осей ; другий і третій рядки – з проекцій на координатні осі векторів і :

1.10. Зв’язок лінійних кінематичних величин із кутовими

Розглянемо точку А, яка належить тілу, що обертається (див. рис. 1.12). Лінійна швидкість точки є векторним добутком векторів кутової швидкості і радіус-вектора точки А:

.

Якщо провести перпендикулярний до осі обертання вектор в дану точку тіла, то, оскільки вектор швидкості перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори і , можна записати

.

Модуль лінійної швидкості дорівнює

v =  R.

Тангенціальне й нормальне прискорення виражаються через кутові величини таким чином:

,

.

Рис.1.12