Материал: Гидрогазодинамика. учебное пособие. Муравьев А.В., Кожухов Н.Н

где f – результирующая всех сил, приложенных к объему.

Рис. 3.3. Движение течения в пограничном слое

Жидкость втекает в выделенный неподвижный объем через левую и верхнюю грани и вытекает через правую, в результате чего устанавливается некоторый баланс в обмене количеством движения.

Вычислим количество движения, поступающее в выделенный объем через грань AB. Через элементарную полоску этой грани с основанием dy и вы-

Вычислим далее количество движения, поступающее в выбранный объем через верхнюю грань BC . Пусть скорость потока на верхней границе слоя равна U . Масса m жидкости, поступающей с этой скоростью в пограничный слой извне, равна разности масс, поступившей внутрь объема ABCD через грань AB и вытекшей через грань CD, т.е.

50

Количество движения, поступающего через грань BC , равно

и левая часть уравнения (3.8) принимает вид

Рассмотрим теперь силы, действующие на выделенный объем. Внешние объемные силы (например, силы тяжести) в пограничном слое намного слабее силы трения, поэтому будем ими пренебрегать. Чтобы определить проекцию действующих сил на ось x, нужно учесть: силу давления на грань AB, равную p ; силу давления на грань CD, равную p p , где p – прираще-

ние давления от грани AB до грани CD, а – приращение толщины пограничного слоя от грани AB до грани CD; силу давления на грань BC, равную p и силу трения, равную x, где – сила трения на единицу площади обтекаемой поверхности. Суммируя эти силы, получим

fx p p p p x p x.

Подставляя полученные величины в уравнение импульсов (3.8), разделив на x и переходя к пределу при x 0, имеем

Уравнение (3.9) называется уравнением импульсов или интегральным соотношением Кармана (1921) для плоского установившегося течения в пограничным слое.

Если выразить с помощью уравнения Бернулли продольный градиент

давления dp через распределение скоростей U во внешнем невозмущенном dx

потоке, т.е.

dp U dU , dx dx

то уравнение Кармана перепишется в виде

51

При выводе уравнения импульсов (3.9) мы не делали никаких предположений относительно природы касательного напряжения τ, поэтому оно в одинаковой степени применимо как к ламинарному, так и к турбулентному пограничному слою.

В уравнении импульсов предполагается известным распределение скоро-

стей во внешнем потоке, т.е. величины U и dU .Они могут быть определены dx

методами гидродинамики идеальной жидкости или опытным путем в результате измерения распределения давления на поверхности обтекаемого тела. Поэтому для определения наиболее важных для практики характеристик пограничного слоя – его толщины и касательного напряжения на стенке необходимо задаваться распределением скоростей в слое. То обстоятельство, что скорость vx внутри слоя входит в уравнение импульсов под знаком интеграла, уменьшает погрешность расчета и позволяет пользоваться приближенными законами распределения скорости.

3.2.2. Условные толщины пограничного слоя

Приведем еще одну форму записи уравнения импульсов, получаемую путем тождественных преобразований. Так как

то уравнение (3.9) может быть представлено в виде

Объединяя в последнем выражении члены, содержащие производные от интегралов, получим

Интеграл во втором слагаемом левой части уравнения (3.11) представляет собой разность между расходами жидкости в пограничном слое, если бы скорость во всем его сечении не уменьшалась вследствие вязкости, а оставалась

52

равной U , и действительным расходом (рис. 3.4). Таким образом, этот интеграл представляет собой уменьшение расхода в пограничном слое вследствие вязкости. Графически он изображен площадью с перекрестной штриховкой на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Интеграл уравнения

Разделив этот интеграл на величину скорости U , получим некоторый

размер *, равный толщине слоя, через который протекал бы недостающий расход:

На расстояние * оттесняются от поверхности тела линии тока невозму-

щенного течения вследствие торможения в пограничном слое. Поэтому * носит название толщины вытеснения.

Аналогично интеграл в первом слагаемом левой части уравнения (3.11) можно рассматривать как уменьшение количества движения жидкости, протекающей через пограничный слой, или потерю импульса. Разделив этот интеграл

на U2 , получим линейную величину **, называемую толщиной потери импульса:

Вводя величины * и ** в уравнение (3.11), получим

53

или, выполнив дифференцирование и разделив на U2,

Вэтой форме записи уравнения импульсов неизвестными являются *,

** и .

3.2.3. Ламинарный пограничный слой на плоской пластинке

При продольном обтекании тонкой плоской пластинки скорость внешне-

го потока не меняется по длине x, члены U dU в уравнениях Прандтля (3.2) и dx

U dU в уравнении Кармана (3.10) равны нулю. Поэтому основные параметры dx

пограничного слоя на плоской пластинке определяются наиболее просто. Результаты этого расчета часто используются для приблизительного определения параметров пограничного слоя различных удобообтекаемых тел, например, тонких крыльев.

Применим для расчета пограничного слоя на плоской пластинке уравнение импульсов (3.10). Будем считать жидкость несжимаемой. Если постоянная скорость внешнего потока равна v , то уравнение импульсов приобретает вид

или

Наиболее простой способ задания скорости в ламинарном пограничном слое – это представление vx в виде степенного ряда по степеням y

vx a0 x a1 x y a2 x y2 ...

54