Материал: Гидрогазодинамика. учебное пособие. Муравьев А.В., Кожухов Н.Н

В противоположность жидкостям, в газах межмолекулярные расстояния велики и силы взаимодействия между молекулами слабы. В связи с этим газы по сравнению с жидкостями обладают значительным свойством сжимаемости. Однако, в случае слабых перепадов давлений, малых скоростей движения и значительных нагревов и газ можно считать несжимаемым.

Таким образом, свойство сжимаемости не является чем-то присущим одной среде. Все непрерывные материальные среды сжимаемы, но степень их сжимаемости зависит динамических и термодинамических условий движения.

Указанных двух основных свойств жидкости (ее модели) как сплошной среды – непрерывности и легкой подвижности – достаточно для того, чтобы установить уравнения равновесия и кинематические описания движения, для решения которых существенно важным является четвертое свойство модели жидкости, а именно свойство прилипания к твердым стенкам.

Для решения практических задач прикладная гидрогазодинамика использует как точные, так и приближенные приемы решения дифференциальных уравнений. В связи с повышением требований к точности расчетов все большее распространение находят численные методы расчета с испольованием компьютерной техники.

История развития механики жидкости, как и история любой другой науки, убедительно свидетельствует о неразрывной связи между теорией и практической деятельностью человека. Если античная механика появилась исходя из грандиозных строительных работ древних, для которой была просто необходима разработка специальных приспособлений, то выработке первых идей механики жидкости способствовали потребности судостроения, строительства водопроводов, полета летательных снарядов и т.д. Отсутствие правильных представлений об инертности не позволяли древним обнаружить и объяснить сопротивление воды и воздуха движущимся в них телам. Практическая деятельность людей наталкивала их на как раз противоположную мысль о движущей силе воды и о невозможности движения в безвоздушном пространстве. Только более поздние работы Архимеда, замечательные идеи Галилея, Гюйгенса и Ньютона привели к расцвету общей механики и заложили основы бурного развития механики жидкости. Здесь следует отметить установление Гюйгенсом и Ньютоном квадратичной зависимости сопротивления от скорости.

Обобщение законов Ньютона на жидкость привела к образованию гидродинамики, как самостоятельного раздела теоретической механики. Часть создания теоретической гидродинамики принадлежит великим ученым Леонарду Эйлеру (1707-1783) и Даниилу Бернулли (1700-1782). В этой связи достаточно напомнить следующие работы Эйлера: вывод уравнений жидкости, расширение понятия давления на случай движущейся жидкости, вывод турбинного уравнения, формулировка теоремы об изменении момента количества движения применительно к жидким и газообразным средам. А также формулировка уравнения Бернулли, устанавливающего связь между давлением, уровнем и скоростью движения тяжелой жидкости. Эйлером дано четкое объяснение уравнения Бер-

5

нулли: «вся сложность понимания этого предложения устраняется, если считать, что здесь сравнение производится не между скоростями двух разных течений, а между разными скоростями вдоль данной струи, которая обтекает поверхность тела».

М. В. Ломоносов своими работами по упругости газов, теплоте способствовал развитию механики газов (1711-1765). Особой отличительной чертой работ Ломоносова является непосредственная связь теории с практикой, теории с экспериментом. Эйлер отмечал: «Ныне таковые умы весьма редки, так как большая часть остаются только при опытах, почему и не желают пускаться в рассуждения; другие же пускаются в такие толки, которые находятся в противоречии со всеми началами естествознания».

Работы Эйлера, Бернулли, Даламбера, привели к почти полному завершению гидродинамики идеальной жидкости. Дальнейшее развитие механики жидкости идет в двух направлениях, с одной стороны, математическая разработка гидродинамики идеальной жидкости, с другой – зарождение и развитие динамики вязкой жидкости и газовой динамики. Основы учения о динамике вязкой жидкости были заложены Навье (1821) и получили свое завершение в работах Стокса (1845). Развитие учения о вязкой жидкости было тесно связано с потребностями практики (смазочные вещества, учение о трении в машинах и т.д.). Нельзя не упомянуть имя О. Рейнольдса (1842-1912), которым дан критерий перехода ламинарного течения в турбулентное. Дифференциальные уравнения турбулентных течений, предложенные Рейнольдсом, вместе с некоторыми его энергетическими соотношениями используются и по настоящее время.

Развитие авиации наложило прочный отпечаток на гидроаэродинамику и тесно связано с именем русских ученых Н.Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным. Это в первую очередь теория подъемной силы крыла, основанная на теории присоединенного вихря, вихревая теория гребного винта, теория решеток профилей, основы динамики полета. Жуковский по праву может считаться создателем экспериментальной аэродинамики. Фундаментальные идеи Жуковского и Чаплыгина были в дальнейшем развиты их учениками и последователями, к числу которых в первую очередь следует отнести М.В. Келдыша, М.А. Лаврентьева Л.И. Седова, Н.Е, Кочина, которые дали успешное развитие методов теории функции комплексного переменного в гидроаэродинамике.

6

1. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

1.1. Кинематический анализ движения жидкости

Кинематика жидкой среды существенно отличается от кинематики системы материальных точек или кинематики твердого тела. Движение твердого тела в общем случае складывается из поступательного перемещения вместе с полюсом (мгновенным центром вращения) и вращения относительно мгновенной оси, проходящей через полюс. Движение жидкости значительно сложнее, поскольку частица кроме указанных перемещений может деформироваться.

Изучим возможные формы движения жидкой частицы, рассматривая для начала плоское движение в плоскости. Будем обозначать составляющие вектора скорости в данной точке через vx,vy ,vz . Для рассматриваемого плоского тече-

ния vz 0. Пусть частица в форме квадрата с «полюсом» в точке A переместилась за некоторое время в соседнее положение, A изображенное на рис. 1.1. Точка A при этом заняла положение A . Очевидно, перемещение частиц складывается из следующих составляющих: а) перемещение полюса; б) вращение около полюса; в) деформация частицы.

Рис. 1.1. Перемещение точки

Скорость поступательного движения полюса, как и в случае движения твердого тела, определяется компонентами вектора скорости vx,vy .

Вращательное движение жидкой частицы существенно отличается от вращения твердого тела. Действительно, вращение жидкой частицы нельзя охарактеризовать угловой скоростью какого-либо одного отрезка, выбранного в этой частице. Например, угловая скорость ребра AB может быть определена из разности скоростей изменения составляющих скорости в направлении оси y

Угловая скорость ребра AD равна

7

По предложению Гельмгольца, за угловую скорость жидкой частицы принимается средняя алгебраическая величина из угловых скоростей сторон прямоугольника:

Индекс z в выражении (1.1) показывает, что определяется составляющая вектора угловой скорости относительно оси z, нормальной к плоскости xy . Угловая скорость считается положительной, если вращение происходит против часовой стрелки.

Деформация жидкой частицы может быть двоякого рода. Во-первых, это деформация растяжения-сжатия, характеризующаяся удлинением сторон исходной частицы. Очевидно, что такое удлинение определяется изменением соответствующих компонент скорости по координатным осям:

vx , vy .x y

Во-вторых, возможна деформация скоса ребер жидкой частицы, т. е. заострение (или затупление) исходных углов. Такую деформацию можно охарактеризовать поперечной изменчивостью скорости течения, или средней арифметической из угловых скоростей вращения ребер:

Приведенные соображения позволяют сформулировать теорему Гельмгольца: скорость жидкой частицы складывается из скорости полюса, скорости вращательного движения около оси, проходящей через полюс, и скорости деформационного движения, состоящего в свою очередь из линейной деформации растяжения-сжатия и угловой деформации скашивания ребер частицы.

Теорема Гельмгольца справедлива и для более общего случая пространственного движения. При этом появляются новые члены, характеризующие

движение: деформация растяжения-сжатия в на правлении оси z, т.е. vz , и уг-

z

ловые скорости и деформации скоса относительно осей y и x . Приведем выражения для этих величин без вывода. Угловые скорости:

8

символы проекции: они указывают лишь направление перпендикуляра к площадке, в которой происходит перекашивание грани. Вообще в отличие от угловой скорости , которая, как и в механике твердого тела, имеет векторный характер, деформация скоса является скаляром.

Вихревое и безвихревое движение. Если при движении жидкости ее ча-

стицы вращаются и составляющие угловой скорости x , y , z не равны нулю,

движение называется вихревым. Наличие вращательных движений в двухмерном потоке может быть установлено таким простейшим экспериментом: в поток вводят поплавок со стрелкой-индикатором, причем его размер мал по сравнению с радиусом кривизны линий тока. Если при движении поплавка стрелкаиндикатор не остается параллельной самой по себе, а изменяет свое направление с некоторой угловой скоростью , то движение вихревое и угловая скорость поплавка совпадает с угловой скоростью жидкой частицы.

Необходимо отметить, что вихревым может быть течение и при прямолинейных траекториях частиц. Например, если частицы движутся параллельно

Мы имеем вихревое течение, и поплавок, помещенный в поток, будет вращаться по часовой стрелке. Течение вязкой жидкости в трубах постоянного сечения так же вихревое, причем угловая скорость вращения частиц нарастает с приближением к стенке трубы.

9