Материал: Гидрогазодинамика. учебное пособие. Муравьев А.В., Кожухов Н.Н

Введение потенциала скорости позволяет заменить векторно еполе скорости течения (для изучения которого нужно знать три компоненты по координатным осям) распределением в пространстве одной скалярной функции , что значительно упрощает исследование. В механике твердого тела вводится аналогичное понятие «потенциала силы»; это скалярная функция, производные от которой равны составляющим силы по координатным осям. Такую же природу имеет в электротехнике понятие потенциала электрического поля: вместо задания в пространстве векторной величины напряженности поля вводится скалярная функция потенциала V , производные от которой по координатным осям равны соответствующим компонентам вектора напряженности.

Придавая функции определенные значения, получим уравнения поверхностей равного потенциала, или эквипотенциальных поверхностей (в случае двухмерного течения – линий равного потенциала, или эквипотенциалей).

Рассмотрим связь потенциала скорости и функции тока. В случае плоского (двухмерного) течения vz 0; дифференциал функции тока выражается формулой (1.8), дифференциал функции скоростного потенциала из равенства (1.11) формулой

d vxdx vydy.

Пусть линия тока const такого течения представлена на рис. 1.7 сплошной линией, эквипотенциаль const– пунктирной линией.

Рис. 1.7. Линия тока

Проведем к этим линиям касательные в точке их пересечения A. Угол наклона прямой AB к оси абсцисс определится согласно уравнению (1.7) выражением

tg 1 dy vy , dx vx

угол наклона прямой AD выражением

15

tg 2 dx vx . dx vy

Очевидно, что tg 1tg 2 1 и угол между касательными равен 90º. Таким образом, функция тока и потенциал скорости взаимно ортого-

нальны; линии тока и эквипотенциали пересекаются всегда под прямым углом. Это позволяет по известным эквипотенциалям строить линии тока и наоборот. Семейства линий x,y const и x,y const, нанесенные на один чертеж,

называются гидродинамической сеткой течения. Пример такой сетки приведен на рис. 1.6.

Сравнивая выражения для составляющих скорости плоского течения vx и

В математике эти условия называются условиями Коши-Римана. При их соблюдении оказывается возможным использовать для исследования функцийи математический аппарат теории функций комплексной переменной, который широко применяется в теории потенциального обтекания геометрически правильных тел.

Угловая скорость вращения жидкой частицы в плоском потоке определяется формулами (1.2). Если течение потенциально, т.е. существует некоторая функция скоростного потенциала , производные которой равны соответствующим компонентам вектора скорости, то использу (1.10) имеем

Равенство нулю угловой скорости вращения свидетельствует о том, что потенциальное течение – безвихревое, т.е. вращение частиц в нем отсутствует. Как будет показано в дальнейшем, у твердых поверхностей, ограничивающих поток, вследствие вязкости всегда формируются зоны вращательных движений, поэтому вблизи стенок теория потенциального обтекания неприменима. Однако для изучения внешнего потока теория потенциала используется с большим успехом.

Применим к потенциальному течению несжимаемой жидкости уравнение неразрывности

16

vx vy vz 0.x y z

Подставляя в него выражения для компонентов скорости через функцию скоростного потенциала (1.10), получаем

Это уравнение известно в математической физике под названием уравнения Лапласа. Таким образом, для нахождения функции , полностью определяющей кинематику потенциального потока, необходимо решить уравнение Лапласа.

Дифференциальное уравнение в частных производных (1.13) имеет бесчисленное множество решений, поэтому должны быть заданы дополнительные (граничные) условия для данной конкретной задачи. К таким условиям относятся задание скорости в удалении от обтекаемого тела v и условие равенства нулю на поверхности тела нормальной составляющей скорости. При этом предполагается, что жидкость обтекает тело без отрывов. У поверхности тела скорость направлена по касательной (имеет место «скольжение» жидкости).

В силу того, что сумма любого числа частных решений уравнения Лапласа является также его решением, оказывается возможным суммировать потенциалы скорости простейших течений для получения картины сложного течения. В этом состоит идея метода наложения потенциальных потоков.

1.3. Вихревое движение жидкости 1.3.1. Интенсивность вихря

Угловая скорость вращения жидкого элемента выражается через производные скорости течения формулами (1.2). Угловой скорости при этом приписывается векторный смысл: по определению, это – вектор, нормальный к плоскости вращения частицы и ориентированный таким образом, что из его конца вращение кажется происходящим против часовой стрелки. Величина этого вектора равна геометрической сумме его компонентов x, y, z :

Как и всякий вектор, вектор угловой скорости имеет некоторое распределение в пространстве – «вихревое поле». Отметим, что в некоторых курсах гидромеханики удвоенную величину угловой скорости вращения называют «вихрем скорости» или «ротором скорости»; в частности, в случае плоского течения

17

rotzv 2 z vy vx .

x y

Точно так же, как была определена линия тока, можно ввести понятие вихревой линии – это такая линия, в каждой точке которой вектор угловой скорости направлен по касательной к ней. Очевидно, вихревая линия представляет собой мгновенную ось вращения частиц жидкости, располагающихся на ней. Дифференциальные уравнения вихревых линий подобны уравнениям линии тока:

x y z

Вихревые линии, проведенные через все точки замкнутого элементарного контура, взятого в потоке (рис. 1.8), образуют вихревую трубку (аналог элементарной струйки, поверхность которой составлена из линий тока). Обозначим площадь нормального сечения вихревой трубки через dF, и будем считать угловую скорость вращения постоянной по ее сечению.

Рис. 1.8. Вихревая трубка

Интенсивностью dJ элементарной вихревой трубки называется удвоенное произведение угловой скорости вращения на площадь сечения

Интенсивность вихревой трубки конечных размеров, для которой нельзя пренебрегать изменением угловой скорости по сечению, равна

J dJ 2 dF 2 срF ,

F F

где ср – средняя величина угловой скорости по сечениюF вихревой трубки.

1.3.2. Циркуляция скорости. Теорема Стокса

Выделим в движущейся жидкости произвольный контур l, в некоторой точке которого вектор скорости равен v, а его проекция на касательную к кон-

18

туру равна vl (рис. 1.9). Произведение этой проекции на длину элемента контура называется элементарной циркуляцией dГ :

dГ vldl vcos v,l dl.

Знак циркуляции, вычисленной по замкнутому контуру, зависит от направления его обхода. Положительным направлением обхода контура считают такое, когда ограниченная им область остается слева. Размерность циркуляции м2 /с.

Понятие циркуляции в гидромеханике аналогично понятию работы в физике, только вместо вектора скорости в работу входит вектор силы. Действительно, работа силы f на элементарном пути dl равна произведению касатель-

ной составляющей силы на путь fldl . Работа на некотором конечном пути получается интегрированием, как и для формулы (1.17).

Рис. 1.9. Произвольный контур

Циркуляция скорости по контуру непосредственно связана с интенсивностью вихревой трубки, натянутой на этот контур. Пусть, например, контур в плоском потоке представляет собой прямоугольник с элементарными сторонами dx,dy площадью dF dxdy (рис. 1.9). Вычислим циркуляцию по этому элементарному контуру. Она складывается из четырех частей

Таким образом, циркуляция оказалась равна интенсивности вихря для вихревой трубки, натянутой на элементарный контур. Для контура, охватыва-

19