Материал: Гидрогазодинамика. учебное пособие. Муравьев А.В., Кожухов Н.Н

кости имеет место сила сопротивления, обусловленная касательными напряжениями по поверхности обтекаемого тела и недостаточным возрастанием давления в кормовой области вследствие образования там вихревой зоны.

Рис. 1.14. Крыловой профиль в плоскопараллельном потоке

1.4.2. Теорема Жуковского

Мы установили, что при обтекании тела идеальной жидкостью сила сопротивления, направленная по потоку, равна нулю. Однако в этом случае возможно существование сил, перпендикулярных направлению течения.

Предположим, что в плоскопараллельный поток со скоростью v помещено тело произвольных очертаний, например в форме одиночного крылового профиля (рис. 1.15). Вблизи тела течение окажется заметно возмущенным; появляются добавки к скорости v , которые мы обозначим через vx ,vy . Скорость результирующего течения оказывается равной

v v vx , 2 vy2, .

По мере удаления от тела величина добавочных составляющих vx ,vy

уменьшается.

Определим с помощью уравнения количества движения, чему равна сила

Ry .

Выберем контрольную поверхность ABCD,расположенную достаточно далеко от тела, чтобы добавки vx ,vy были на ней малы по сравнению с v . При таком выборе можно пренебречь количеством движения жидкости, передаваемым через поверхности BCи AD, вследствие малости vy . Подсчитав разность между количеством движения в направлении оси y,поступающим через AB и

25

уходящим через CD, мы сможем определить сумму всех сил, действующих в направлении оси yна поверхность ABCD. Эта сумма складывается из сил давления на AD и BC, которые мы обозначим через P, и из силы Ry , действую-

щей на тело.

Поступающий через ABв слое единичной толщины элемент жидкости ширинойdy несет в направлении оси yколичество движения, равное

v vx vydy. Следовательно, все количество движения, входящее через AB,

равно

B

v vx vydy ,

A

(мы считаем p const ), а разность количеств движения на ABи CDсоставляет

B C

v vx vy dy v vx vy dy.

A D

Для подсчета силы давления

D C

P pdx pdx

A B

Воспользуемся зависимостью между давлениями и скоростями (уравнением Бернулли)

Квадрат скорости vможно представить в виде

22

v2 v vx vx2 v vx v2 2v vx .

Так как vx и vy малы по сравнению с v , то величинами vx2 и vy2 можно пренебречь по сравнению с v2 . Следовательно, имеем

Будем считать давление вдали от тела равным нулю, так как оно все равно дает на замкнутой поверхности результирующую, равную нулю. Сила Ry ,

равная разности приращения количества движения и силы давленияP, определяется выражением

26

B C D C

Ry v vx vy dy v vx vy dy v vx dx v vx dx.

A D A B

При подсчете членами вида vx vy dy можно снова пренебречь, так как vx v мало по сравнению с v vx . Тогда имеем

Сумма интегралов, стоящих в круглых скобках, представляет собой не что иное, как циркуляцию добавочной скорости по контуру ABCD.

Таким образом, при циркуляционном обтекании тела слоем жидкости единичной толщины сила, действующая на тело, будет

Нами доказана теорема Н. Е. Жуковского (1906): поперечная сила, действующая на тело, пропорциональна плотности, скорости набегающего потока и циркуляции по контуру, охватывающему тело.

Формула (1.24) выведена для слоя единичной толщины и определяет силу, действующую на элемент обтекаемого тела, поперечный размер которого равен единице длины. В случае обтекания тела заданной длины величина этой силы определяется выражением

где l– размер тела в направлении, перпендикулярном плоскости контура (в случае обтекания крыла это длина крыла).

Циркуляция скорости Г может быть отличной от нуля только в случае вихревого движения. Поэтому подъемная сила Ry , перпендикулярная направлению

течения, возникает лишь в тех случаях, когда на набегающий поток накладывается вихрь.

1.4.3. Постулат Чаплыгина-Жуковского

Теорема Н.Е. Жуковского имеет основополагающее значение для теории крыла. Отметим, что крылом в гидромеханике называют не только несущую плоскость самолета или судна на подводных крыльях, но и лопасть пропеллера или судового винта, лопатку турбины, компрессора или насоса и вообще тело с плавными обводами и заостренной задней кромкой, обтекаемое продольно или под небольшими «углами атаки». Чтобы нагляднее показать природу возникно-

27

вения поперечной силы, действующей на крыло, полезно использовать аналогию между обтеканием крыла и цилиндра.

На рис. 1.15 схематически показана картина линий тока при обтекании кругового цилиндра идеальной жидкостью без циркуляции (а), чисто циркуляционное течение вокруг него (б) и комбинация этих течений (в). Эта картина может быть получена методами гидродинамики идеальной жидкости, в результате наложения потенциальных потоков, отвечающих равномерному поступательному течению, обтеканию цилиндра и безвихревому циркуляционному течению. В третьем случае появляется поперечная, или подъемная, сила. Действительно, над цилиндром линии тока сгущаются, в этой области скорость возрастает, а давление в соответствии с уравнением Бернулли понижается. Под цилиндром имеет место обратная картина. Равнодействующая сил давления и представляет собой подъемную силу.

Появление поперечной силы при обтекании вращающегося тела носит название эффекта Магнуса по фамилии ученого, впервые объяснившего это явление (1852). До изобретения нарезных артиллерийских орудий шаровые снаряды после вылета из ствола часто отклонялись в сторону от расчетной траектории. Магнус показал, что это происходило из-за вращения ядра вокруг вертикальной оси, происходящего вследствие случайных причин. Такую же природу имеет поперечная сила, действующая на «резаный» футбольный или теннисный мяч; эта сила всегда направлена к той стороне тела, где направления вращения и обтекающего потока совпадают.

При обтекании крылового профиля с заостренной задней кромкой форма его сечения такова, что необходимый для появления циркуляции вихрь возникает здесь самопроизвольно. Как показывает опыт, в начале процесса обтекания

28

картина линий тока соответствует рис. 1.17а. Подъемная сила пока еще отсутствует. Струйки сходят с поверхности профиля на его спинке, у задней острой кромки образуется область больших скоростей (теоретически – бесконечных) и больших градиентов скорости.

Если около крыла появится циркуляционное течение, показанное на рис. 1.16 б, то в результате наложения обоих течений при соответствующем выборе величины циркуляции получается течение, показанное на рис. 1.16 в, или безотрывное обтекание профиля.

Возникновение циркуляционного вихря около крыла можно пояснить следующими соображениями. У острой задней кромки, в соответствии с рис. 1.16 а, в начальной стадии обтекания скорость течения резко возрастает. В реальной жидкости такое возрастание скоростей лимитируется вязкостью. У кромки формируется поверхность разрыва скоростей. Эта поверхность свертывается в вихрь, увлекаемый течением (рис. 1.17) во внешний поток, где силы трения не оказывают существенного влияния. По теореме Томсона, суммарная циркуляция не должна изменяться по сравнению с начальным моментом, т.е. должна оставаться равной нулю. Это равенство, в частности, должно иметь место и для области, ограниченной линией A. Поэтому при отходе вихря определенной интенсивности около профиля должен сохраниться вихрь, равный по интенсивности, но противоположный по направлению вращения. В итоге картина линий тока принимает вид, изображенный на рис. 1.16 в.

Рис. 1.17. Свёртывание в вихрь

В этом состоит суть постулата, сформулированного С.А. Чаплыгиным и Н.Е. Жуковским: при безотрывном обтекании профиля вокруг него формируется такая циркуляция Г , которая обеспечивает сход струек, с задней кромки вдоль средней линии профиля.

Таким образом, с чисто гидродинамической точки зрения крыло можно рассматривать как несущую вихревую линию. Так как скорости, обусловленные вихревой линией, убывают обратно пропорционально расстоянию от оси вихря, то и возмущение набегающего потока, вызванное наличием крыла, также убы-

картина течения оказывается такой же, как если бы крыло заменить единичным вихрем. При этом считают, что ядро вихря, т. е. его внутренняя область, где жидкость должна вращаться как твердое тело, размещается внутри крыла.

29