Материал: Гидрогазодинамика. учебное пособие. Муравьев А.В., Кожухов Н.Н

2. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 2.1.Уравнения движения вязкой жидкости 2.1.1. Уравнения Навье-Стокса

При обтекании тела реальной (вязкой) жидкостью на его поверхности появляются касательные напряжения, связанные с действием вязкости. Такие же напряжения имеют место и при относительном движении слоев жидкости. По закону Ньютона для вязкого трения, касательная сила f , действующая между слоями жидкости при их относительном движении, определяется формулой

Действие вязкости учитывается введением в дифференциальные уравнения движения членов, описывающих внутреннее трение. В итоге уравнения оказываются более сложными, чем уравнения гидродинамики идеальной жидкости Эйлера.

Как и при выводе уравнений Эйлера применим второй закон Ньютона

к жидкой частице в форме параллелепипеда с малыми ребрами dx,dy,dz Рассмотрим силы, действующие на жидкую частицу в направлении оси x . Будем считать жидкость несжимаемой ( const). Кроме силы давления –dx,dy,dzи объемной силы X dxdydz, в вязкой жидкости действует еще разность сил трения на верхней и нижней гранях частицы

Если предположить для простоты вывода, что в данном потоке жидкости скорость меняется только в направлении оси z, то

В этом случае уравнение второго закона Ньютона запишется в виде

30

Разделив последнее равенство на dx,dy,dzи принимая во внимание, что

– кинематический коэффициент вязкости, а предел отношения

dz

равен второй производной d2vx , получим dz2

dvx 1 p X d2v2 .

Учитывая возможность изменения вектора скорости также в направлении осей y и z и применив аналогичные рассуждения для проекций сил на эти оси, запишем уравнения движения в виде

В отличие от уравнений Эйлера, полученные дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости учитывают влияние на ускорение частицы (левые части уравнений (2.3) сил вязкого трения (последние слагаемые правых частей). Они носят название уравнений Навье-Стокса.

Система (2.3) получена для несжимаемой вязкой жидкости. В случае сжимаемой жидкости (газа) уравнения Навье-Стокса имеют более сложный вид.

2.1.2. Граничные условия

Уравнения Навье-Стокса совместно с уравнением неразрывности образуют для несжимаемой жидкости замкнутую систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными: vx,vy, xz, . При решении этой системы для какого-либо

конкретного случая движения необходимо задать начальные и граничные условия.

31

Начальные условия формулируются для задач о движении вязкой жидкости так же, как и для идеальной. Они сводятся к тому, что для некоторого момента времени, принимаемого за начальный, задаются скорости и давления как функции координат. При установившемся движении начальные условия не задаются.

Существенные отличия от идеальной жидкости имеют место при формулировке граничных условий. В динамике идеальной жидкости допускается, что жидкость скользит по поверхности обтекаемого тела с конечной скоростью. При обтекании тела вязкой жидкостью, как показывают опытные данные, частицы жидкости прилипают к поверхности тела. Следовательно, здесь оказываются равными нулю не только нормальные vn , но и касательные vt составляющие скорости течения.

Последнее граничное условие (vt 0) весьма усложняет решение задач, относящихся к движению вязкой жидкости. Вследствие математических трудностей, связанных с интегрированием нелинейных уравнений Навье-Стокса при этих граничных условиях, поэтому для решения конкретных задач прибегают к упрощению уравнений Навье-Стокса, чтобы сделать возможным их интегрирование.

Один из способов такого упрощения состоит в пренебрежении инерционными (конвективными) членами в уравнениях движения (левые части уравнений (2.3)). Это приближение оправдано только в случае доминирующего влия-

ния вязкости или при очень малых числах Рейнольдса Re vL (здесь L – ха-

рактерный линейный размер для рассматриваемой задачи, например – диаметр трубы или поперечный размер обтекаемого тела). Примером такого упрощения является решение для ламинарного течения в круглой трубе – задача Пуазейля.

Другой способ упрощения уравнений Навье-Стокса, предложенный Прандтлем, основывается на предположении, что при движении маловязкой жидкости вдоль поверхности удобообтекаемого тела частицы затормаживаются только в тонком пристенном слое, где велики поперечные градиенты скорости и пропорциональные им силы вязкого трения.

Пределы применимости этих способов упрощения уравнений движения могут быть установлены только экспериментально. Более сложные задачи – например, определение силового взаимодействия потока с телом произвольной формы – приходится решать опытным путем.

2.2. Моделирование в гидромеханике и газодинамике 2.2.1. Принципы динамического подобия

Натурные объекты, с которыми имеют дело гидромеханика и газодинамика, – гидромашины, корабли, гидротехнические сооружения для несжимаемой жидкости, а также паровые и газовые турбины, компрессоры, самолеты,

32

ракеты – слишком велики по размерам, сложны и дороги, чтобы их можно было испытывать только в натуральных условиях. Модели различных вариантов этих объектов испытываются обычно в стадии их проектирования и расчета. Поэтому большое значение приобрела теория моделирования, разрабатывающая правила и условия проведения экспериментов и переноса результатов эксперимента с модели на натуру.

Движением жидкости управляют силы тяжести, инерции, давления и трения. Они различны по своему происхождению и природе, и каждая из них изменяется при изменении скоростей, размеров потока и других условий по своим особым законам. Однако во многих задачах, приходится рассматривать совместное действие этих сил и определять величину отношения одной из них к другой. Исследованием этих вопросов занимается теория механического подобия потоков.

При моделировании в гидромеханике и газодинамике недостаточно добиться геометрического подобия модели и натуры, т.е. пропорциональности их сходственных размеров. Должно быть обеспечено еще динамическое подобие. Основные требования динамического подобия таковы:

1.В натурном и модельном потоках должны действовать силы одинаковой физической природы.

2.В сходственных точках натурного и модельного потока действующие силы должны находиться в постоянном соотношении. Так, если на некоторой поверхности натурного объекта действует сила давления P и сила трения T , а

на модели эти же силы равны соответственно Pм и Тм , то условие динамического подобия для этих сил записывается в виде

3. Граничные и начальные условия для натурного и модельного потоков совпадают.

Подобие называется полным, если в натурном и модельном потоках одинаковы отношения любых действующих сил, например: силы трения к силе инерции, силы давления к силе инерции, силы тяжести к силе инерции. Вследствие разной природы этих сил они по-разному зависят от скорости и размеров потока, поэтому на уменьшенной модели часто не удается добиться полного динамического подобия. В этом случае довольствуются соблюдением частичного подобия, т. е. тождественности для натуры и модели лишь отношения ка- ких-то двух сил, которые предполагаются определяющими для данного потока. По остальным силам в этом случае подобие не соблюдается, и поэтому данные модельного эксперимента при частичном подобии не могут в точности соответствовать натуре. Но в ряде случаев действие этих сил пренебрежимо мало либо может быть рассчитано теоретически; поэтому моделирование при частичном подобии получило широкое распространение.

33

2.2.2. Закон полного динамического подобия Ньютона

Рассмотрим два динамически подобных потока, обтекающих геометрически подобные объекты: модель и натуру. Будем обозначать величины, относящиеся к модельному потоку, индексом «м», а относящиеся к натурному потоку

– без индекса. Частица жидкости массой m под действием силы f приобретает ускорение dv ; согласно второму закону Ньютона f mdv.

Если потоки динамически подобны, то согласно второму принципу динамического подобия

Масса частицы m может быть представлена через ее плотность и объ-

ем, который равен кубу некоторой характерной длины частицы l, т. е. m l3 . В качестве характерного размера частицы, имеющей, например, форму куба,

естественно принять его ребро. Ускорение частицы dv выражается через при- dt

ращение ее характерной скорости v и характерное время t, т. е.

dv v~v dt t t

(мы предполагаем, что приращение скорости v пропорционально ее величине v). Подставляя эти величины в формулу (2.4), имеем

f l3v : мlм3vм const. fм t tм

Принимая во внимание, что отношение характерной длины в потоке l к

характерному времени t есть скорость v, т. е.v l, приведем последнее выра-

Перепишем это равенство несколько иначе

34