Материал: Гидрогазодинамика. учебное пособие. Муравьев А.В., Кожухов Н.Н

Рис. 1.2. Схема движения частиц

Рассмотрим один частный случай движения жидкости, когда вращение частиц отсутствует. В этом случае x y z 0 . Такое движение называется

безвихревым.

Важность этого частного случая движения определяется тем обстоятельством, что, как показывает опыт, при обтекании тела с плавными обводами вращение частиц наблюдается только в тонкой пристенной области и за кормой. Во всем остальном потоке движение осуществляется практически без вращения частиц. Поэтому безвихревое движение имеет особое значение для теории удобообтекаемых тел (таких, как современные самолеты, ракеты, корабли, проточные части турбомашин). Особенно большое значение имеет теория безвихревого движения для решения задачи о распределении давлений на поверхность обтекаемого тела.

При плоском (двухмерном) течении равенство нулю угловой скорости вращения приводит к выражению

vy vx .x y

Если обратиться к рис. 1.1, то угловая скорость ребра AB при этом будет

v

y и положительна (ребро AB вращаетсяпротив часовой стрелки). Уг-

AB x

v

ловая скорость ребра AD будет x и отрицательна (ребро AD вращает-

AD y

ся по часовой стрелке). Средняя скорость вращения

равная угловой скорости биссектрисы исходного прямого угла, в случае безвихревого движения равна нулю; частица перемещается без вращения, несмотря на наличие деформационного движения. В этом случае поплавок, опущенный в жидкость, будет перемещаться вместе с потоком таким образом, что стрелка-индикатор остается все время параллельной самой себе.

10

Безвихревое циркуляционное течение. Интересным и практически важным примером безвихревого движения является круговое течение, в котором скорость обратно пропорциональна расстоянию от оси вращения частиц

(рис. 1.3):

Хотя линии тока этого течения криволинейны, но поток является безвихревым частицы деформируются, но не вращаются.

Течение, в котором скорость подчиняется закону (1.4), называют безвихревым циркуляционным потоком (иногда – менее точно – плоским вихрем).

Рис. 1.3. Круговое течение

Рассмотрим безвихревое циркуляционное течение с непрерывно убывающим радиусом. Скорость течения и ее градиент вблизи оси вращения должны непрерывно нарастать и в пределе стать бесконечно большими (рис. 1.3). В реальной жидкости это невозможно из-за действия вязкости; опыт показывает, что центральная область вихря приходит во вращение и вращается как твердое тело с угловой скоростью . За пределами этого ядра вихря (заштрихованный круг на рис. 1.3) скорость изменяется по закону (1.4). Примерами подобных потоков являются круговые течения у отверстия стока воды в ванне, атмосферные смерчи и т.д. Возрастание скорости с приближением к оси потока приводит к понижению давления, поэтому свободная поверхность жидкости принимает воронкообразную форму. В свою очередь, и местное понижение давления в жидкости приводит через некоторое время к формированию такого поля скоростей, которое приближается к безвихревому циркуляционному течению.

Важным примером использования в технике безвихревого циркуляционного течения является движение газов в спиральной камере с тангенциальным подводом газа (рис. 1.4). Газовый поток вращается в камере; выход газов осуществляется через окна прорезанные в торцевых стенках камеры вблизи от ее оси. Хотя линии тока являются спиралями, но радиусы их кривизны приближенно можно считать равными радиусу соответствующей окружности r, про-

11

веденному из оси камеры. Распределение скоростей оказывается близким к заданному формулой (1.4). Скорость сильно возрастает с приближением к оси камеры.

Рис. 1.4. Схема движения в спиральной камере

Возрастание скорости с приближением к оси спиральной камеры позволяет использовать ее в качестве циклонной установки для сепарации твердых частиц из газового потока центробежные силы; действующие на частицы при движении с большой скоростью по криволинейным траекториям, отбрасывают их к стенкам камеры.

Другое применение спиральной камеры так называемые рециркуляционные печи, используемые при термической обработке крупных поковок или отливок. Обрабатываемое изделие (садка) размещается у оси камеры. За счет большой скорости газов, обтекающих поверхность садки, происходит интенсивный теплообмен между потоком и поверхностью, что позволяет сократить сроки термообработки.

1.2. Функция тока и потенциал скорости

Уравнение линии тока. Вектор скорости частицы v направлен по касательной к линии тока s. Для плоского течения это показано на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Линия тока при плоском течении

Пусть vx,vy – проекции вектора скорости на координатные оси. Из рис. 1.5 следует, что

12

где ds – элемент дуги линии тока. Составим производные пропорции:

dx ds, dy ds , vx v vy v

откуда

Мы получили уравнение линии тока для плоского течения. В случае трехмерного (пространственного) потока уравнения линии тока выводятся аналогично и имеют вид

1.2.1. Функция тока для двухмерного течения

Дифференциальное уравнение линии тока плоского течения (1.5) может быть представлено в виде

Введем такую «функцию тока» x, y , полный дифференциал которой равен левой части выражения (1.7):

Поскольку на линии тока согласно формуле (1.7) d 0, очевидно, что функция тока сохраняет вдоль линии тока постоянное значение.

Полный дифференциал функции двух переменных имеет вид

d dx dy.

x y

Сравнивая это выражение с формулой (1.8), получаем, что производные функции тока определяются зависимостями

13

Сама функция тока может быть определена интегрированием выражения

(1.9).

Контур поверхности тела, обтекаемого потоком идеальной жидкости, сам является линией тока: в некоторой «критической» точке набегающий поток раздваивается и огибает тело. Следовательно, на обтекаемой поверхности функция тока постоянна. Но можно, наоборот, рассматривать любую линию тока как контур сечения твердого тела. Действительно, если заменить область, ограниченную линией тока твердым телом, то остальные линии тока не изменятся (так как жидкость мы считаем идеальной, трение отсутствует). Они дают картину обтекания такого тела. В этом состоит принцип отвердения линий тока, широко применяемый в гидродинамике идеальной жидкости. Если, например, считать отвердевшими линии тока, показанные на рис. 1.6 по координатным осям x,y, то получится картина течения внутри прямого угла.

Рис. 1.6. Линии тока

1.2.2. Потенциал скорости

Функцией скоростного потенциала или сокращенно – потенциалом скорости x, y,z называется такая функция, частные производные которой равны

составляющим вектора скорости по соответствующим координатным осям:

Полный дифференциал функции равен

d dx dy dz,

d vxdx vydy dzdz.

Сама функция скоростного потенциала определяется интегрированием выражения (1.11).

14