Материал: Гидрогазодинамика. учебное пособие. Муравьев А.В., Кожухов Н.Н

Коэффициенты этого ряда a0 x , a1 x ,... можно определить из гранич-

ных условий (3.3)-(3.7), которым должна удовлетворять скорость vx и ее производные на границах слоя. Эти условия таковы

vx a0 a1y. Предположение о линейном распределении скоростей по толщине пограничного слоя является, конечно, очень грубым приближением, но мы убедимся ниже, что даже такое приближение дает удовлетворительные результаты. Используя первые два из граничных условий (3.15), получим

a0 0,a1 v ,

т.е.

vx v y.

Касательное напряжение на поверхности пластинки определяется по закону Ньютона, т.е.

dvx dy y 0 .

В данном случае имеем

v .

Для определения толщины пограничного слоя подставим полученные величины в уравнение импульсов (3.13). Для этого вычислим входящие в него интегралы:

Подставляя эти величины в уравнение (3.13), имеем

55

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Запишем его в виде

d 6 dx. v

Интегрируя это уравнение, получаем

2 12 x C . v

Постоянную интегрирования находим из условия на передней кромке

где Rex v x – местное число Рейнольдса.

Касательное напряжение получается равным

Полученные формулы для и τ отличаются от точных формул, являющихся результатом более сложного решения уравнений Прандтля (3.1), только числовыми коэффициентами. Точные решения имеют вид:

56

В точном решении за толщину пограничного слоя принималось такое расстояние, от стенки, где скорость отличается всего на 1 % от скорости невозмущенного потока. Величины и могут быть вычислены гораздо точнее, если не ограничиваться двумя слагаемыми в разложении vx по степеням y , а взять три или четыре слагаемых. Результаты решения в этом случае быстро сходятся к точным формулам (3.16) и (3.17).

Решение для пластинки показывает, что в ламинарном пограничном слое его толщина нарастает по длине пластинки по параболическому закону, а

напряжения трения обратно пропорционально x (рис. 3.5). Этот закон при x 0 дает ; в действительности напряжение трения у входной кромки не может возрастать безгранично, так как у реальной пластинки (а не бесконечно тонкой) происходит торможение у входной кромки из-за ее конечной толщины

vx x 0 0. Следовательно, в передней критической точке и x x 0 0. Поэтому

действительное распределение касательных напряжений на поверхности пластинки будет таким, как показано на рис. 3.5 пунктирной линией. Величина участка, к которому не применима формула (3.17), зависит от степени заостренности входной кромки пластинки.

Рис. 3.5. Распределение касательных напряжений на поверхности пластинки

Определим полную силу трения на поверхности пластинки длиной l и шириной b при ламинарном обтекании. Используя выражение (3.17), получим, что сила трения на одной из сторон пластинки равна

Сравнивая полученный результат с общей формулой для определения гидродинамических сил (3.7), которая для сил трения может быть записана в виде

57

Следовательно, коэффициент сопротивления Cтр для ламинарного слоя на пластинке равен

1,328

Cтр.л. . (3.18)

Rel

3.2.4. Турбулентный пограничный слой на плоской пластинке

Применим уравнение импульсов (3.13) для расчета турбулентного пограничного слоя на пластинке. Для этого, как уже отмечалось выше, требуется задать хотя бы приближенно закон распределения скоростей поперек слоя и характер зависимости от U и . Наиболее просто эти дополнительные условия задаются, если считать распределение скоростей в турбулентном пограничном слое таким же, как и распределение скоростей по радиусу цилиндрической трубы.

Согласно опытным данным в трубе при достаточно больших числах Рейнольдса осредненная скорость пропорциональна расстоянию от стенки в степе-

1

ни . Поэтому будем считать, что

7

Также из экспериментов с трубами следует, что зависимость касательного напряжения трения от U и имеет вид

Подставляя выражение (3.19) в уравнение импульсов на плоской пластинке (3.13), вычислим входящие в него интегралы:

58

2

С использованием полученных выражений и формулы (3.20) уравнение (3.13) приводится к виду

или

Интегрируя полученное уравнение с разделяющимися переменными, получим

Постоянную интегрирования C можно определить, если принять, что в критическом сечении, где ламинарный слой переходит в турбулентный, их толщины одинаковы, т.е. x xкр кр . Тогда начальное значение толщины тур-

булентного слоя можно определить с использованием теории ламинарного слоя

(3.16). Если же местные числа Рейнольдса Rel v l очень велики (порядка 107

и больше), то ламинарный участок у входной кромки пластинки занимает относительно небольшую часть ее длины. В этом случае можно пренебречь его вли-

янием на толщину слоя и считать x 0 0, откуда следует C 0; получаем формулу для расчета толщины турбулентного слоя на пластинке в виде

59