Материал: Гидрогазодинамика. учебное пособие. Муравьев А.В., Кожухов Н.Н

3.1.2. Уравнения Прандтля

При выводе дифференциальных уравнений пограничного слоя выберем систему координат, как показано на рис. 3.1: ось x направлена вдоль обтекаемой поверхности, ось y всюду к ней перпендикулярна. Начало координат – в передней критической точке, где раздваивается набегающий поток. В силу малой толщины пограничного слоя , по сравнению с размерами обтекаемого тела, можно пренебречь кривизной поверхности и рассматривать выбранную систему координат как обычную декартову.

Будем считать жидкость несжимаемой, а движение – установившимся. Для плоского (двухмерного) потока система уравнений Навье–Стокса имеет вид:

В силу сделанных предположений внутри пограничного слоя значительны градиенты только продольной составляющей скорости vx , поэтому второе из записанных уравнений принимает вид

dp 0. dy

Из него следует, что давление внешнего потока передается через пограничный слой без изменений. Легко показать также, что в первом уравнении

уравнение и записанное совместно с ним уравнение неразрывности образуют систему:

Отметим, что полная производная скорости vx x,y,t по времени, стоя-

щая в левой части первого уравнения системы (3.1), по правилу дифференцирования функции нескольких переменных равна

45

x y

Уравнения Прандтля значительно проще, чем исходные уравнения НавьеСтокса. Вместе с тем они достаточно хорошо соответствуют действительности, и результаты их интегрирования весьма точно совпадают с данными экспери-

жет быть выражено через распределение скоростей во внешнем неискаженном потоке. Действительно, если скорость внешнего потока у данной точки обтекаемого тела равна U , то согласно уравнению Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости

U2 p const.

2

Дифференцируя последнее равенство по x , получаем

U dU 1 dp 0 dx dx

или

1 dp U dU ,dx dx

и система (3.2) приобретает вид

46

vx vy 0.x y

Распределение скоростей во внешнем потоке, входящее в первое уравнение системы, может быть получено в результате решения задачи об обтекании тела потоком идеальной жидкости, например, методом электрогидродинамической аналогии (ЭГДА). Таким образом, осуществляется «стыковка» двух основных теоретических разделов гидроаэромеханики – динамики идеальной и вязкой жидкости.

3.1.3. Граничные условия

Одно из граничных условий решения системы (3.1) требует равенства нулю вектора скорости на поверхности обтекаемого тела:

Второе условие предусматривает отсутствие торможения на внешней границе пограничного слоя. Оно может задаваться двояким образом. Строго говоря, влияние пристенного торможения должно сказываться на любом расстоянии от стенки, поэтому при строгой постановке задачи второе условие задается в виде

Решение этой задачи позволяет определить параметры «асимптотического» пограничного слоя, в котором распределение скоростей в пограничном слое асимптотически переходит в распределение скоростей во внешнем потоке. Более часто второе граничное условие задается для пограничного слоя конечной толщины, под которым понимают слой, где полное изменение скорости происходит на расстоянии конечной толщины пограничного слоя , от нуля на стенке до vx U на внешней границе, т.е. второе граничное условие имеет вид

В качестве можно, например, принимать расстояние от стенки, на котором скорость отличается на 1 % от скорости невозмущенного потока. Хотя такое задание граничного условия является менее строгим, тем не менее мате-

47

матически решение оказывается более простым, а результаты почти совпадают с решением более строгой задачи.

3.1.4. Турбулизация пограничного слоя

Опыт показывает, что слоистое, ламинарное течение жидкости в пограничном слое наблюдается лишь на начальном участке обтекаемой поверхности. При достаточно больших размерах обтекаемого тела на некотором расстоянии от передней критической точки наблюдается перестроение ламинарного течения в турбулентное, в котором движение носит неустановившийся пульсационный характер. Критическая точка на поверхности тела, где начинается переход ламинарного течения внутри пограничного слоя в турбулентное, называется точкой перехода. Схема обтекания крыла с двумя видами пограничного слоя на нем представлена на рис. 3.2. Область 1 соответствует ламинарному пограничному слою, область 2 – турбулентному; точки Tв и Tн соответствуют началу перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный на верхней и нижней поверхностях крыла, в точке S происходит отрыв пограничного слоя. Область 3 – аэродинамический след за телом, область 4 – внешний невозмущенный поток.

Обычно предполагают, что в непосредственной близости от обтекаемой поверхности пульсации скорости сдерживаются этой поверхностью и движение здесь ламинарное. Это – так называемый ламинарный подслой, аналогичный подслою при движении жидкости в трубах в области гидравлически гладкого сопротивления. Но толщина этого подслоя настолько мала, что на рис. 3.2 он не показан. В случае достаточно крупных выступов шероховатости на обтекаемой поверхности ламинарный подслой вообще разрушается.

Рис. 3.2. Схема обтекания крыла с двумя видами пограничного слоя

Перестроение режима течения в пограничном слое зависит от величины местного числа Рейнольдса

vx

Rex ,

48

где x – расстояние от передней критической точки.

В частности, согласно экспериментальным данным при продольном обтекании пластинки точка перехода лежит при значениях xкр , соответствующих в

среднем критическому числу Рейнольдса:

Уравнения Прандтля (3.1) выведены в предположении, что трение в пограничном слое происходит только за счет вязкости. Это предположение справедливо для ламинарного пограничного слоя. При турбулентном течении обмен количеством движения между слоями происходит за счет взаимного проникновения вихревых частиц, размеры которых намного превышают размеры молекул. Поэтому обмен количеством движения резко возрастает и соответственно увеличивается сила трения. Механизм трения в турбулентном пограничном слое, как и в случае гидравлического сопротивления труб, зависит от величины числа Рейнольдса и шероховатости поверхности.

Дифференциальные уравнения Прандтля для решения задач турбулентного пограничного слоя применять невозможно. Для этого используется метод интегральных соотношений, предложенный Карманом; он более прост, чем интегрирование дифференциальных уравнений Прандтля, и поэтому применяется также и в задачах ламинарного пограничного слоя. Способ Кармана не позволяет определить поле скоростей в пограничном слое, однако он дает возможность вычислить толщину пограничного слоя и распределение сил трения по поверхности обтекаемого тела с достаточной для практики точностью, и гораздо проще, чем при интегрировании дифференциальных уравнений.

3.2. Интегральные соотношения и расчет пограничного слоя 3.2.1. Соотношение Кармана

Рассмотрим двухмерное установившееся движение жидкости в пограничном слое. Выберем два сечения пограничного слоя, проведенные нормально к обтекаемой поверхности на расстоянии x (рис. 3.3). Применим теорему об изменении количества движения к объему жидкости, ограниченному контуром ABCD и имеющему единичную толщину. Уравнение импульсов имеет вид

или в проекции на ось x

49