Материал: Физика1

времени от момента импульса ;

б) определить приращение момента импульса частицы относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы M(t), действующего на эту частицу.

Из уравнения моментов имеем dL  Мdt.

Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение вектора L за конечный промежуток времени t = t₂ – t₁:

Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют импульсом момента силы. Таким образом, приращение момента импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу момента силы за тот же промежуток времени.

Пусть относительно некоторой точки О на произвольной неподвижной оси Z (в интересующей нас системе отсчета) момент импульса частицы равен L, а момент силы, действующий на частицу, – M.

Моментом импульса относительно оси Z называют проекцию на эту ось вектора L, определенного относительно произвольной точки O, лежащей на данной оси (рис. 4.10).

Аналогично вводится понятие момента силы относительно оси. Обозначают эти величины соответственно L_Z и M_Z.

Записав уравнение моментов в проекции на ось Z, получим  М_Z, т. е. производная по времени от момента импульса частицы относительно оси Z равна моменту силы относительно этой оси. В частности, если M_Z = 0,

то L_Z = const. Это означает, что если момент силы относительно некоторой неподвижной оси Z равен нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остается постоянным. При этом сам вектор L может и меняться.

Рассмотрим произвольную систему частиц. Введем понятие момента импульса данной системы как векторную сумму моментов импульсов ее отдельных частиц:

где L_i – момент импульса i-й частицы, причем все векторы определены относительно одной и той же точки O заданной системы отсчета. Заметим, что момент импульса системы – величина аддитивная: момент импульса системы равен сумме моментов импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют ли они между собой.

Продифференцировав L по времени и воспользовавшись свойством производной от суммы функций, получим

В предыдущем пункте было показано, что производная равна

моменту всех сил, действующих на частицу. В соответствии с уравнением моментов можно записать

где ^M_внутр.i – момент внутренних сил; ^M_внеш.i – момент внешних сил, действующих на i-ю частицу. Это приводит к соотношению

В данном выражении первая сумма представляет собой суммарный момент внутренних сил относительно точки O, вторая – суммарный момент внешних сил относительно той же точки.

Суммарный момент внутренних сил относительно любой точки равен нулю. Действительно, внутренними называются силы взаимодействия между частицами данной системы. По третьему закону Ньютона эти силы попарно одинаковы по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой, т. е. имеют одинаковое плечо. Поэтому моменты сил, действующих между двумя любыми частицами системы, равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. уравновешивают друг друга, и, значит, суммарный момент внутренних сил всегда равен нулю.

В результате получаем

где M_внеш. – суммарный момент внешних сил. Таким образом, производная момента импульса системы по времени равна суммарному моменту внешних сил. Предполагается, конечно, что оба момента (L и M) определены относительно одной и той же точки O выбранной системы отсчета. Из полученного уравнения следует, что приращение момента импульса системы за конечный промежуток времени t составляет

где M_внеш. – функция от времени суммарного момента внешних сил, т. е. приращение момента импульса системы равно импульсу суммарного момента внешних сил за соответствующий промежуток времени.

Следовательно, момент импульса системы может изменяться под действием суммарного момента только внешних сил. Отсюда непосредственно вытекает закон сохранения момента импульса: в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным. Действительно, если  0, то L  const. При этом моменты импульса отдельных частей или частиц замкнутой системы могут изменяться со временем.

Особый интерес представляют случаи, когда момент импульса сохраняется для незамкнутых систем. Если суммарный момент внешних сил относительно точки O выбранной системы отсчета M_внеш. = 0, то момент импульса системы относительно этой точки сохраняется. Вообще говоря, в незамкнутых системах такой точки может и не быть.

Возможна ситуация, в которой в незамкнутых системах сохраняется не сам момент импульса L, а его проекция L_Z на некоторую неподвижную ось Z. Записывая закон изменения момента импульса в проекции на эту ось, получаем

Отсюда следует, что если относительно некоторой неподвижной оси Z сумма моментов внешних сил равна нулю, то момент импульса системы относительно этой оси сохраняется. При этом сам вектор L относительно произвольной точки O на этой оси может изменяться.

11. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

Для момента импульса системы частиц относительно некоторой оси Z справедлива формула

, где M_Z – суммарный момент внешних сил относительно оси вращения.

С учетом того, что L_Z = Iω_Z, запишем

Принимая во внимание, что I – величина постоянная, а  _Z – угловое ускорение, приходим к выражению I_ZM_Z.

Это уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Оно аналогично уравнению второго закона Ньютона ma_Z  _F_Z.

Роль массы в этом уравнении играет момент инерции, роль линейного ускорения – угловое ускорение, роль результирующей силы – суммарный момент внешних сил.

Решение этого уравнения – основная задача динамики вращения твердого тела. Зная момент инерции I тела относительно оси вращения и зависимость от времени его угла поворота φ(t), можно найти суммарный момент M_Z всех внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения. И наоборот, зная момент инерции I тела относительно оси вращения, действующий на тело суммарный момент M_Z всех внешних сил относительно оси и начальные условия (угловую скорость ω_0Z и угол поворота тела φ₀ в начальный момент времени), можно найти зависимость угла поворота от времени φ(t).

В частном случае, когда сила F, приложенная к телу, перпендикулярна оси вращения Z, момент этой силы относительно оси равен M_Z Fd, где F – модуль силы; d – ее плечо относительно оси вращения, которое представляет собой кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (рис. 4.14).

Если на тело, имеющее ось вращения, действует одновременно несколько сил, перпендикулярных оси, то суммарный момент этих сил относительно нее равен алгебраической сумме моментов этих сил относительно данной оси:

где M_i – моменты сил относительно данной оси. При этом моменты сил, вращающие тело против часовой стрелки, принято считать положительными, а по часовой – отрицательными.

12. Момент инерции. Кинетическая энергия вращения.

Найдем выражение момента импульса твердого тела L относительно оси вращения Z. Спроектировав L на эту ось, получим ^L_Z ^^L_Zi^, где L_Zi – момент импульса i-й частицы твердого тела относительно оси Z.

Момент импульса i-й частицы относительно точки O, лежащей на оси вращения, по определению равен L_i m_ir_i,v_i, где r_i – радиус-вектор, определяющий положение частицы массой m_i относительно точки O; v_i – скорость этой частицы (рис. 4.13). 58

Из рис. 4.13 видно, что L_Zi L_icos_i.

Поскольку векторы r_i и v_i взаимно перпендикулярны (это легко доказать, пользуясь соображением, что частица описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оси Z), имеем L_im_ir_iv_i

Тогда L_Zi  m_ir_iv_icos_I  m_iR_iv_i  m_i_ZR_i², где R_i – радиус окружности, которую описывает частица; ω_Z – угловая скорость, с которой твердое тело вращается вокруг оси Z (а значит, и частица).

С учетом этих выражений получаем L_Z _L_Zi _m_i_ZR_i² _Zm_iR_i² _m_iR_i²__Z.

Заметим, что полученное выражение момента импульса твердого тела не зависит от положения на оси вращения точки O, относительно которой определяется момент импульса тела L.

Обозначим величину, стоящую в скобках, буквой I, тогда L_Z I_Z.

Скалярная величина I _m_iR_i², равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно оси. Таким образом, момент инерции тела зависит от распределения масс относительно оси. Из определения также следует, что момент инерции – величина аддитивная, т. е. момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.

Выражение для I является приближенным, причем тем более точным, чем меньше элементарные массы m_i. Следовательно, задача нахождения момента инерции в общем случае сводится к интегрированию:

I _r²dm_r²dV, где   – плотность тела; dm – элементарная масса. Под dV следует понимать физически бесконечно малый объем, т. е. такой, который, с одной стороны, достаточно мал для того, чтобы макроскопические свойства вещества можно было считать в его пределах одинаковыми, а с другой, достаточно велик для того, чтобы не могла проявиться дискретность (прерывистость) вещества. Интеграл следует брать по всему объему тела.

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси Z_c, проходящей через центр масс тела, приведены в таблице.

Зная момент инерции I_c относительно оси, проходящей через центр масс тела, можно определить момент инерции I относительно любой параллельной ей оси, отстоящей от нее на расстояние a: II_c  ma², где m – масса тела. Это равенство выражает собой теорему Штейнера.

Когда тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω, элементарная масса m_i, отстоящая от оси вращения на расстояние R_i, обладает скоростью v_i R_i.

Следовательно, ее кинетическая энергия равна

Так как кинетическая энергия – величина аддитивная, для всего тела

Или, учитывая определение момента инерции,

где I – момент инерции тела относительно оси вращения; ω – его угловая скорость.

Эта формула аналогична выражению кинетической энергии материальной точки и поступательно движущегося тела. Роль массы играет момент инерции, а роль линейной скорости – угловая скорость.

Пусть тело массой m совершает плоское движение, т. е. такое, при котором все его точки движутся в параллельных плоскостях. Любое плоское движение можно представить как совокупность поступательного движения и вращения, причем это деление на поступательное и вращательное движение можно осуществить множеством способов. Наиболее удобным оказывается деление плоского движения на поступательное, происходящее со скоростью центра инерции v_c, и вращение вокруг оси, проходящей через этот центр. В таком случае кинетическая энергия тела равна

где первое слагаемое – кинетическая энергия поступательного движения тела, а второе – кинетическая энергия его вращательного движения.