Материал: Физика1

Перечень вопросов к теоретическому зачету по физике (лето 2020). Группы МТ-908, МТ-909, Т-910

I. Механика

1. Система отсчета. Радиус-вектор, перемещение, путь, скорость.

Механика изучает наиболее простую форму движения материи – механическое движение.

Механическим движением называется изменение положения тела или его частей в пространстве относительно других тел с течением времени.

Тело, относительно которого рассматривается данное механическое движение, называется телом отсчета.

Во многих задачах механики размеры и форму тела, движение которого рассматривается, можно не учитывать. Тело, размерами и формой которого в условиях данной задачи можно пренебречь, называется материальной точкой. В тех случаях, когда размерами нельзя пренебречь, его рассматривают как абсолютно твердое тело, т. е. тело, размеры и форма которого остаются неизменными при любых внешних воздействиях. Простейшими видами движения такого тела являются поступательное и вращательное движение.

Поступательным движением тела называется движение, при котором все его точки движутся по одинаковым траекториям и любая прямая, соединяющая две произвольные точки тела, остается параллельной самой себе. Поступательное движение тела может быть охарактеризовано движением какой-либо одной его точки.

Вращательным движением тела называется движение, при котором все его точки описывают окружности, находящиеся в параллельных плоскостях, а центры окружностей лежат на одной прямой, перпендикулярной этим плоскостям. Эта прямая называется осью вращения.

Положение материальной точки в пространстве задается с помощью координат. В прямоугольной системе координат ее положение определяется тремя координатами x, y, z или радиус-вектором r, соединяющим начало координат с материальной точкой (рис. 1.1). Его проекции на координатные оси декартовой системы координат равны координатам точки M: r_хх, r_yу, r_zz. Пусть e_х ,e_у ,e_z – орты системы координат – единичные векторы (их длина равна единице), направленные по осям X, Y, Z соответственно. Тогда радиус-вектор можно записать в виде суммы трех векторов: rхe_х уe_у ze_z. Длина радиус-вектора (его модуль) r х²у²z².

Совокупность тела отсчета, системы координат и прибора для измерения длительности промежутков времени называется системой отсчета.

При движении тела его координаты и радиус-вектор непрерывно изменяются. Зависимости этих величин от времени (x = x(t), y = y(t), z = z(t) или r  r(t)) называются кинематическими уравнениями движения.

Вид механического движения зависит от выбора системы отсчета, в которой это движение рассматривается. В этом заключается относительность механического движения.

Траекторией называется линия, по которой движется материальная точка. По виду траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета, в которой рассматривается данное движение.

Путь s – физическая положительная величина, равная длине участка траектории, пройденного движущейся точкой за определенный промежуток времени.

Перемещение r – вектор, соединяющий начальное и конечное положение движущейся точки (рис.1.2).

Из рис. 1.2 видно, что rr(t₂)  r(t₁)r₂  r₁.

Из этой формулы следует, что перемещение равно приращению радиус-вектора r частицы за промежуток времени tt₂ t₁. Если Δx, Δy и Δz – проекции перемещения на оси координат, то, используя орты системы координат, можно получить выражение rхe_х уe_у ze_z.

Элементарное перемещение точки dr, т. е. ее перемещение за бесконечно малый промежуток времени dt, записываем в виде drdхe_х dуe_у dze_z, где dx, dy и dz – элементарные перемещения точки вдоль соответствующих осей координат.

Если материальная точка совершает несколько перемещений, то результирующее перемещение равно их геометрической сумме.

Скорость – физическая величина, характеризующая быстроту изменения положения тела в пространстве.

Средняя скорость перемещения v_ср – векторная величина, равная отношению вектора перемещения r к длительности промежутка времени Δt, в течение которого это перемещение совершено:

Вектор средней скорости перемещения v_ср совпадает по направлению с вектором перемещения r (рис. 1.2).

Средняя путевая скорость v_ср – скалярная положительная величина, равная отношению пути s к длительности промежутка времени t, в течение которого этот путь пройден:

В общем случае средняя путевая скорость не равна модулю средней скорости перемещения. Равенство выполняется только при прямолинейном движении материальной точки без изменения направления движения.

Мгновенная скорость v(t), или скорость точки в данный момент времени t, – это предел, к которому стремится средняя скорость при неограниченном уменьшении промежутка времени Δt:

Из определения следует, что скорость v(t) представляет собой первую производную по времени от радиус-вектора:

Вектор мгновенной скорости v в каждой точке траектории (т. е. в каждый момент времени) направлен по касательной к этой траектории в данной точке (рис.1.3).

Используя выражение радиус-вектора и определение скорости, получаем v v_xe_хv_уe_yv_ze_z, где v_x  , v_у  , v_z  – проекции вектора скорости v на координатные оси (орты e_х,e_у,e_z являются постоянными векторами). Таким образом, проекция скорости на координатную ось равна первой производной соответствующей координаты по времени.

Модуль скорости

По мере уменьшения t путь Δs, пройденный телом за этот промежуток времени, все больше приближается к r , поэтому модуль мгновенной скорости

Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной от пути по времени.

Для того чтобы определить путь s₁₂, проходимый частицей за конечный промежуток времени t  t₂  t₁, следует просуммировать все элементарные пути ds = v(t)dt: s₁₂ _ds.

При бесконечно большом числе бесконечно малых слагаемых ds путь s₁₂ определяется как интеграл по времени от t₁ до t₂:

В международной системе единиц (СИ) путь, пройденный телом, измеряется в метрах (м), время – в секундах (с), а скорость – в метрах в секунду (м/с).

По характеру изменения модуля мгновенной скорости v(t) различают равномерное и неравномерное движение. Движение точки называется равномерным, если эта скорость не изменяется с течением времени (v = const). Если скорость зависит от времени (v  v(t)) , движение точки называется неравномерным.

2. Ускорение материальной точки (нормальное и тангенциальное). Движение точки по окружности.

Ускорение a – физическая векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Средним ускорением a_ср называется векторная величина, равная отношению изменения скорости v (v  v₂  v₁) точки к длительности промежутка времени Δt, в течение которого это изменение произошло:

Вектор среднего ускорения a_ср совпадает по направлению с вектором изменения скорости v (рис. 1.4). Ускорение измеряется в метрах в секунду в квадрате (м/с²).

Мгновенным ускорением (ускорением в данный момент времени) называется предел среднего ускорения при стремлении промежутка Δt к нулю (т. е. первая производная от скорости v по времени):

Используя это определение ускорения и выражение мгновенной скорости через ее проекции, получаем

де a_x  , a_y  , a_z  – проекции вектора ускорения на координатные оси. Таким образом, проекция ускорения на координатную ось равна первой производной по времени проекции скорости на эту ось.

Модуль ускорения .

При движении материальной точки вектор скорости может изменяться как по модулю, так и по направлению (рис. 1.5). В этом случае a=a_n +a_τ.

Составляющая ускорения a_n, направленная перпендикулярно вектору v к центру кривизны траектории в данной точке, называется нормальным, или центростремительным, ускорением. Составляющая a_τ, параллельная вектору v, называется касательным (тангенциальным) ускорением.

Нормальное ускорение приводит к изменению только направления вектора скорости, а касательное – к изменению только модуля скорости и вычисляется по формуле

Модуль вектора ускорения .

По форме траектории и характеру изменения модуля скорости различают следующие виды механического движения: равномерное прямолинейное, неравномерное прямолинейное, равномерное криволинейное и неравномерное криволинейное.

3. Равноускоренное прямолинейное движение материальной точки.

Равнопеременным прямолинейным движением называется движение, при котором ускорение точки не зависит от времени: a = const.

Скорость точки в любой момент времени при равнопеременном прямолинейном движении определяется выражением vv₀ at. В проекциях на ось ОХ, направленную вдоль прямолинейной траектории, это уравнение имеет следующий вид: v_X v_0X a_Xt.

Равнопеременное прямолинейное движение называется равноускоренным, если направления векторов a и v совпадают (в этом случае v_{0 X}  0, a_X  0 или v_{0 X}  0, a_X  0 ). Скорость при равноускоренном движении увеличивается с течением времени по закону vv₀ at.

Равнопеременное прямолинейное движение называется равнозамедленным, если векторы a и v противоположны по направлению (в этом случае v_0X 0, a_X 0 или v_0X 0, a_X 0). Скорость при равнозамедленном движении до момента остановки тела уменьшается с течением времени по закону vv₀ at.

Графики зависимости величины скорости от времени v = v(t) для равноускоренного а и равнозамедленного б движения приведены на рис. 1.12. Из этих графиков видно, что тангенс угла наклона линии графика к оси времени α численно равен ускорению тела a.

Площадь заштрихованной на рис. 1.12 области численно равна проекции вектора перемещения Δr на ось координат ОХ.

Пройденный телом путь s при равнопеременном движении можно вычислить по одной из формул:

Графики зависимости s = s(t) для равнопеременного движения представлены на рис. 1.13, где а  равноускоренное движение (направления век- торов a и v совпадают), б  равнозамедленное движение до момента остановки тела t (направления векторов a и v противоположны).

Уравнение координаты х точки, движущейся равнопеременно и прямолинейно, имеет следующий вид:

где x₀ – координата точки в момент времени t = 0, знак ее определяется положением этой точки на оси координат, а знаки v_0X и a_X – направлением векторов скорости v и ускорения a относительно оси OХ.