Материал: Электричество и магнетизм. Курс лекций. Стрелядкин

Рисунок 7.6 − Плоская и сферическая волны

7.4 Продольные и поперечные волны

Если вектор возмущения (смещение частиц среды) совпадает с направлением распространения волны, то такая волна называется продольной (рис.7.7, график 2).

Если смещение частиц среды происходит перпендикулярно направлению распространения волны, то волну называют поперечной( рис.7.7 график 3).

Рисунок 7.7 − Продольное и поперечное смещение частиц среды

Продольные механические волны бывают в средах, которые сопротивляются сжатию (газ, жидкость, твердые тела). Поперечные механические волны могут возникать на границах раздела сред (поверхностные волны) и в средах, которые сопротивляются сдвигу (в газах и жидкостях поперечных волн не бывает).

7.5 Волновое уравнение. Фазовая и групповая скорости распространения волн

Рассмотрим участок упругого жгута (см. рис.7.8). Деформация соседнего участка приводит к появлению упругой силы: Fупр~ S и Fупр~1/ х в итоге Fупр=k∙ds/dx. Сила упругости пропорциональна относительной деформации ds/dx.

62

Рисунок 7.8 − Деформация соседнего участка упругого жгута приводит к появлению упругой силы

Уравнение движения участка для жгута длиной dх, (см. рис.7.9):

где масса участка m= ∙dх;

− масса жгута единичной длины.

Подставляя Fрез в уравнение движения Fрез=m∙a, и, учитывая, что a=d2S/dt2, получим:

Это дифференциальное уравнение называют волновым уравнением.

Его решение можно представить как сумму двух бегущих волн:

Рисунок 7.9 − Движения участка для жгута длиной dх

Если подставить (7.14 в 7.13), то оказывается, что коэффициент перед d2S/dt2 равен 1/V2, т.е. скорость нашей волны V=(k/ρ)1/2.

63

Скорость распространения V бесконечной синусоидальной волны называется фазовой скоростью. В случае плоской синусоидальной волны V является скоростью перемещения точек одинаковых фаз. Действительно, из условия постоянства фазы ∙t−k∙x+ =const, следует, что:

V dxdt ωk

Идеальная синусоида бесконечна в пространстве.

Вреальных средах скорость распространения волн зависит от их частоты.

Это явление называется дисперсией.

8.ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

8.1Дифференциальное уравнение электромагнитной волны в вакууме

Ввакууме или в непроводящей среде зарядов и токов нет ρ=0, j=0. Из уравнений Максвелла (Приложение 7) следует, что напряженности электрического поля E и напряженности магнитного поля H подчиняются уравнениям вида:

Это волновые уравнения, решением которых является электромагнитная волна, например, которая распространяется вдоль оси x, (см. рис. 8.1):

Ey Em cos ω t k x , Hz Hm cos ω t k x

где Em ,Hm – амплитуды волн; ω=2π∙ν=2π/T - круговая частота; k=2π/λ - волновое число; λ=V∙T=V/ν - длина волны;

Т – период.

Рисунок 8.1 − Электромагнитная волна

Скорость распространения волны V:

64

где c=1/(μ0∙ε0)1/2 - скорость света в вакууме, здесь: ε0 − электрическая постоянная; μ0 − магнитная постоянная;

ε − диэлектрическая проницаемость среды; μ − магнитная проницаемость среды;

n=(ε∙μ)1/2 - показатель преломления среды. Он указывает во сколько раз скорость в среде меньше, чем в вакууме.

Электрическая и магнитная напряженности поля в волне связаны между собой соотношением:

E ε ε0 H μ μ0 (8.2)

Из данного уравнения следует, что максимумы и минимумы электрического и магнитного полей совпадают.

8.2 Энергия электромагнитных волн. Интенсивность электромагнитных волн

Мгновенное значение объемной плотности энергии электромагнитного поля равно сумме энергий электрического и магнитного полей:

где V=1/(ε∙ε0∙μ∙μ0)1/2 − скорость электромагнитной волны; E×H – означает векторное произведение векторов.

Если в (8.4) подставить значение мгновенной напряженности электрического поля E для плоской монохроматической волны, то получим:

wмгн ε ε0 E2 sin 2 ω t k x

Но такое выражение имеет мгновенное значение объемной плотности энергии в момент времени t в некоторой точке пространства (x). Обычно рассматривается среднее за период значение w . Напомним, что усреднение за период мы обозначаем скобками ... :

где учтено, что <sin2(...)>=1/2.

65