Материал: Электричество и магнетизм. Курс лекций. Стрелядкин

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Рисунок П6.2 − Смысл дивергенции векторного поля

	ФА
divA lim		.	(П6.3)

ΔV0	ΔV

3. Ротор векторной функции A(x, y, z) определяется соотношением:

rotA

(П6.4)

A y

Физический смысл ротора - это элементарная циркуляция - вектор равный циркуляции вектора A по контуру с единичной площадью (направление ротора перпендикулярно плоскости контура), (см. рис. П6.3).

Рисунок П6.3 − Ротор или циркуляция вектора A

	1
rotA lim s 0	1	A dl .	(П6.5)
rotA lim s 0	S	A dl .	(П6.5)
	S	L

4. Теорема Гаусса записывается в виде:

Поток или число силовых линий, выходящих через поверхность S, равна сумме элементарных потоков (divA), выходящих из объема V, (см. рис П6.4).

Рисунок П6.4 − Поток или число силовых линий, выходящих через поверхность S

A dS


divA dV .	(П6.6)

5. Теорема Стокса

Вихрь (циркуляция) вектора A вдоль контура L равна вихрю как сумме элементарных вихрей (rotA) по всей плоскости S.


A dl	rotA ds .	(П6.7)
L	S

Рисунок П6.5 − Вихрь (циркуляция) вектора A вдоль контура L

ПРИЛОЖЕНИЕ 7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

П7.1 Вихревое электрическое поле

Рисунок П7.1 − Магнитное поле пронизывает контур L

Пусть магнитное поле пронизывает контур L (см. рис. П7.1). При изменении магнитного потока ФВ через контур в проводнике появляется ЭДС (электрическое поле):

				εинд		dΦB
				εинд			dt
							dt
Видим, что электрическое поле вызывается изменяющимся магнитным
полем.
	и ФB
Но εинд E d l	и ФB	B dS следовательно:
L			S		d B dS .			(П7.1)
		E d l			d B dS .			(П7.1)

	L				dt S

Это 1-ое уравнение Максвелла в интегральной форме.

Преобразуя (П7.1) по теореме Стокса (П6.7) и меняя очерёдность дифференцирования и интегрирования в правой части, получим:


			B
			B
rotE dS			t	dS
S	S		t
или

		B .
	rotE	B .
		t

(Это 1-ое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.)

Физический смысл 1-го уравнения Максвелла в том, что изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле (даже в вакууме, где нет проводников).

П7.2 Ток смещения

Максвелл обобщил закон полного тока. Он, на основе опытных данных показал, что магнитное поле вызывается не только током, но и переменным электрическим полем.

Oн ввел понятие плотности тока смещения:
	j						(П7.2)
	j	D .					(П7.2)

	см		t
			t
Ток смещения через произвольную поверхность S определяется
интегралом:

			D

Iсм jсм dS				dS		D dS .	(П7.3)
Iсм jсм dS			t	dS	t	D dS .	(П7.3)
S			t		t

Рисунок П7.2 − Токи проводимости и токи смещения

(П7.5)

Токи проводимости через обкладки не текут, но между обкладками меняется электрическое поле, следовательно, между обкладками “текут” токи смещения.

Ток проводимости вместе с токами смещения образуют замкнутую цепь

тока.

Закон полного тока в общем случае (и для переменных полей) имеет вид:
		I Iсм .
H d l

Подставляя вместо тока смещения Iсм его интегральное представление, получим 2-ое уравнение Максвелла в интегральной форме:

H dl J

(П7.4)

где ток проводимости: J

dS ;

ток смещения:

D dS

Преобразуя (П7.4) по теореме Стокса получаем:

rotH

dl j dS

D dS

отсюда следует 2-ое уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

D rotH j t .

Физический смысл 2-го уравнения Максвелла в том, что магнитное поле H создается токами проводимости j и изменяющимся электрическим полем D.

П7.3 Третье и четвертое уравнения Максвелла

Кроме первых двух уравнений есть еще два уравнения Максвелла. Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля:


		D dS q	своб	,
		S	своб
		S
но q	своб	ρ dV

Отсюда получаем 3-е уравнение Максвелла в интегральной форме:


D dS	ρ dV ,
S	V
где - объемная плотность свободных зарядов.
Преобразуем (П7.7) по теореме Гаусса:

divD dV		ρ dV
V		V
	84

(П7.6)

(П7.7)

и получаем 3-е уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

divD ρ	(П7.8)

Физический смысл 3-го уравнения Максвелла в том, что поток электрического вектора смещения D обусловлен электрическими зарядами .

4-ое уравнение Максвелла в интегральной форме является теоремой Гаусса для магнитного поля и имеет вид:


B dS 0		(П7.9)
S
Преобразуем (П7.9) по теореме Гаусса:

divB dV 0 ,

откуда получаем 4-ое уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

divB 0.	(П7.10)

Физический смысл 4-го уравнения Максвелла в том, что магнитных зарядов в природе не существует, а магнитные линии замкнуты.

Таким образом, мы имеем четыре уравнения Максвелла, представленные в таблице П7.1: 1) уравнения (1) и (2) - векторные уравнения, следовательно, каждое дает по три скалярных уравнения. 2) уравнения (3) и (4) - скалярные уравнения. Всего получается 8 уравнений, а неизвестны E, H, D, B - 4 векторных величины, или 12 скалярных. Только уравнений Максвелла не хватает для решения задачи. Необходимо использовать дополнительные соотношения (5-7) − материальные уравнения.

Итак, соотношения (1-7), представленные в таблице П7.1 образуют основу электродинамики.

в дифференциальной

в интегральной форме:

форме:

B dS

rotE

H dl

j dS

rotH j D

t S

ρ dV

divD ρ

B dS 0

divB

дополнительные соотношения (материальные уравнения):

D ε0

ε E

(5)

B μ

μ H

(6)

γ E

(7)

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
_РГР № 3