Материал: Электричество и магнетизм. Курс лекций. Стрелядкин

г) Найдем заряд внутри поверхности S:

q L τ .

внут.S

д) Подставляя в уравнение Гаусса, получим:

откуда находим напряженность электрического поля на расстоянии r от проводника.

(поле бесконечного линейного заряда)

Задача. Найти поле бесконечной однородной заряженной плоскости, если поверхностная плотность заряда σ.

а) Из симметрии получаем, что вектор E перпендикулярен плоскости. Окружим часть плоскости цилиндром радиуса R, (см. рис. П2.4), и применим теорему Остроградского-Гаусса:

Рисунок П2.4 − Окружаем часть заряженной плоскости воображаемым цилиндром радиуса r

б) Найдём поток вектора Е через поверхность воображаемого цилиндра. Вследствие симметрии, потоки через каждый торец одинаковы, поэтому удваиваем поток через один торец:

в) Находим заряд, оказавшийся внутри воображаемого цилиндра:

q R2 .

внут.S

г) Подставляем результаты вычислений в уравнение ОстроградскогоГаусса и получаем:

71

откуда находим Е для заряженной плоскости:

E . (П2.4)

Напряженность поля заряженной плоскости не зависит от расстояния, (см.

рис. П2.5).

Рисунок П2.5 − Напряженность поля заряженной плоскости не зависит от расстояния. Плоскость заряжена положительным зарядом

Для отрицательно заряженной плоскости картина будет той же, но направление силовых линий изменится на противоположное, (см. рис. П2.6):

Рисунок П2.6 − Напряженность поля заряженной плоскости не зависит от расстояния. Плоскость заряжена отрицательным зарядом

Задача. Найти электростатическое поле для двух бесконечных равномерно заряженных плоскостей (конденсатор), (см. рис. П2.7).

Рисунок П2.7 − Электростатическое поле для двух бесконечных равномерно заряженных плоскостей, образующих конденсатор

Из принципа суперпозиции следует, что плоскость +σ создает поле E1=σ/(2∙ε0), направленное от плоскости (+σ), (на рис. П2.7 это поле изображено сплошными линиями). Плоскость (−σ) создает поле E2=−σ/(2∙ε0), направленное к плоскости (−σ), (на рис. П2.7 это поле показано пунктиром).

72

Суммируя эти поля с учётом их направления, получим, что результирующее поле вне конденсатора равно нулю, а между пластинами:

|E|=σ/ε0, (см. рис. П2.8).

Рисунок П2.8 − Поле внутри конденсатора

Задача. Найти поле, создаваемое заряженной сферической поверхностью,

(см. рис. П2.9).

Решение: 1) По теореме Остроградского-Гаусса имеем:

Рисунок П2.9 − Схема к определению поля, создаваемому заряженной сферической поверхностью

2)Из симметрии следует, что E направлено вдоль радиуса.

3)Чтобы найти поле внутри сферы, создадим воображаемую сферу

радиусом r1<R внутри, и к ней применим теорему Остроградского-Гаусса. Получаем:

E cos0 dS 0 ,

т.к. заряд внутри равен нулю, уравнение преобразуется к виду 4π∙E∙r2=0.

Отсюда получаем, что поле внутри сферы равно нулю Евнутр.сф.=0.

б) Вне сферы. Теперь создадим воображаемую сферу радиусом r2 вне заданной сферы. Получим:

Итак, напряжённость электрического поля вне сферы оказалось таким же, как в случае, если бы весь заряд, находился бы в центре сферы.

Итак, результирующее поле заряженной сферы имеет вид:

73

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ДИПОЛЬ. НАПРЯЖЕННОСТЬ И

ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ ДИПОЛЯ

Электрический диполь − это система из двух равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов.

Расстояние между зарядами l называется плечом диполя.

Вектор L направлен от отрицательного заряда к положительному,

(см. рис. П3.1).

Рисунок П3.1 − Электрический диполь

Величина pe=q∙L называется электрическим дипольным моментом.

Направлен дипольный момент от минуса к плюсу, (см. рис. П3.1).

Если диполь pe поместить в электрическое поле, напряжённостью E, то на заряды действует пара сил F1 и F2, которая стремится развернуть вектор pe вдоль поля E. При этом возникает момент сил M=p×E. (см. рис. П3.2).

Рисунок П3.2 − Момент силы

Найдем напряженность поля диполя на его оси (см. рис. П3.3).

Рисунок П3.3 − Поле на оси диполя

Решение: из рис. П3.3 видно, что результирующее поле E имеет величину:

где r+ и r- - расстояния от рассматриваемой точки до положительного и отрицательного заряда, соответственно, и учтено, что при r+ и r- l эти величины приближенно можно заменить на расстояние до центра диполя r.

(напряженность на оси диполя)

Теперь вычислим потенциал поля диполя на его оси:

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ГАЗАХ. НЕСАМОСТОЯТЕЛЬНЫЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫЙ РАЗРЯДЫ. ГАЗОРАЗРЯДНАЯ ПЛАЗМА. РАБОТА ВЫХОДА ЭЛЕКТРОНОВ ИЗ МЕТАЛЛА. ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ

Сверхпроводимость

Эффект сверхпроводимости заключается в скачкообразном исчезновении сопротивления при очень низких температурах (см. рис. П.4.1а).

Температура, при которой происходит этот переход, называется критической температурой Тк (см. рис. П.4.1б).

Слабое магнитное поле не проникает в сверхпроводник: его магнитная проницаемость μ=0. Сильное внешнее магнитное поле B>BK разрушает сверхпроводящее состояние. То же происходит от сильного тока, проходящего через сверхпроводник.

а) б)

Рисунок П4.1 − Температурные зависимости удельного сопротивления и магнитной проницаемости металлов. а) Зависимость удельного сопротивления ρ от температуры для некоторых металлов; б) Зависимость критического магнитного поля ВK от температуры

сверхпроводника

Теорию сверхпроводимости создали Бардин, Купер, и Шриффер (теория БКШ). Ее суть следующая. Электрон немного притягивает к себе соседние положительные атомы решетки. Электрон и деформированная решетка создают положительную систему, к которой притягивается второй электрон. Наиболее выгодный режим создается, когда два электрона вращаются по кругу вокруг деформированной положительной области решетки (см. рис. П4.2).

75