Материал: Электричество и магнетизм. Курс лекций. Стрелядкин

Рисунок 1.1 − Взаимодействие двух зарядов

Есть общий закон Природы: чем поле создается, на то оно и действует.

Электростатическое поле создается зарядами и действует на заряды. Такое же правило справедливо и для всех остальных полей.

Существует элементарный заряд, разделить который далее уже невозможно.

Любой произвольный заряд состоит из целого числа элементарных зарядов. Это свойство называют квантованием зарядов. Величина

элементарного заряда равна заряду протона e=1.6 10-19 Кл. У электрона также заряд e, но только знак отрицателен.

Опыт доказывает существование Закона сохранения заряда: суммарный электрический заряд изолированной системы тел не изменяется при любых процессах, происходящих в этой системе.

1.2. Вектор напряжённости электрического поля. Силовые линии. Принцип суперпозиции

Зададим себе важный вопрос. Как обнаружить есть или нет электрическое поле в некоторой точке А, а если поле обнаружим, то как его характеризовать?

Поскольку мы уже знаем, что электрическое поле действует на заряд, то нам следует поместить в точку А любой пробный заряд qпр. Если на заряд подействовала сила F, то электрическое поле в точке А есть.

Казалось бы, поле в точке А можно характеризовать величиной силы F, которая действует на этот заряд. Но различные люди могут поместить в точку А различные пробные заряды и на них будут действовать разные силы. Однако отношение силы к заряду у всех будет одинаковым. Это отношение и назвали напряженностью Е электрического поля:

где E − вектор напряженности электрического поля; qпр − пробный заряд;

F − сила, действующая на пробный заряд.

Напряженность электрического поля E в некоторой точке – это вектор, равный отношению силы F, действующей на пробный заряд qпр , к величине пробного заряда, помещенного в данную точку. (Напомним, что

жирным шрифтом или стрелкой над переменной мы обозначаем векторы). Напряженность Е − силовая характеристика электрического поля.

Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

6

Физический смысл напряженности в том, что Е численно равна силе,

действующей на единичный пробный заряд.

Единица измерения: [Е] = Н/Кл = В/м, (В – вольт, В = Дж/Кл).

Поставим еще один важный вопрос.

А какую напряженность создает точечный заряд Q на расстоянии r?

(см. рис. 1.2) Действуем по той же схеме. В точку на расстоянии r поместим пробный заряд qпр. Получим два точечных заряда Q и qпр, для которых справедлив закон Кулона. В соответствии с определением Е силу Кулона F поделим на qпр и получим модуль напряженности:

Рисунок 1.2 − Напряженность поля в точке на расстоянии r, создаваемая зарядом Q

Итак, мы получили важную формулу, для напряженности поля, которое создает точечный заряд. Напряженность Е, созданная положительным зарядом Q направлена по радиусу от заряда на бесконечность, а если заряд будет отрицательным –Q, то знак силы в (1.3) и направление вектора Е поменяет знак и будет направлено по радиусу к заряду.

Силовыми линиями называются воображаемые кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности электрического поля Е.

Условились, что чем больше напряженность поля Е, тем гуще изображаются силовые линии. (Силовых линий в природе нет, т.е. их рисуют для наглядности). Силовые линии начинаются на положительных зарядах, а заканчиваются на отрицательных или на бесконечности. (см. рис. 1.3).

Опыт показал справедливость принципа суперпозиции:

Взаимодействие любой пары зарядов не зависит от наличия других зарядов.

Пусть в пространстве есть n зарядов. Найдем напряженность, которую они создают в некоторой точке. Результирующая сила, действующая на пробный заряд, помещенный в данную точку, равна векторной сумме всех сил, созданных каждым зарядом по отдельности:

i 1

В соответствии с определением, результирующая напряженность Ерез в данной точке:

7

Рисунок 1.3 − Силовые линии электрического поля а) одиночного положительного заряда; б) отрицательного заряда; в) диполя

Итак, напряженность электрического поля системы зарядов складывается векторно из напряженностей, создаваемых отдельными

Это является следствием принципа суперпозиции.

Зададим еще один важный вопрос. А как действует электрическое поле на заряд? Если дана напряженность поля, E то на заряд q, в соответствии с

Сила, действующая на заряд, имеет то же направление, что и вектор напряженности E, если заряд положителен q>0, (см. рис. 1.4), и сила направлена противоположно вектору E, если заряд q отрицателен.

Рисунок 1.4 − Направление вектора напряженности и силы совпадают, если заряд положительный и противоположны, если заряд отрицательный.

1.3. Поток вектора напряженности

Введём понятие вектора площадки dS, (см. рис. 1.5). Его величина равна площади dS, а направление перпендикулярно к плоскости площадки.

Если ввести единичный вектор n, перпендикулярный к площадке, то dS=n∙dS, (см. рис. 1.5).

Элементарным потоком dФЕ вектора E через участок поверхности dS называется скалярное произведение:

Рисунок 1.5 − Вектор площадки dS

Физический смысл потока вектора E через площадку dS − это число силовых линий, выходящих из данной площадки в направлении вектора dS, (см. рис. 1.6).

Рисунок 1.6 − Поток вектора E через площадку dS

Рассмотрим следующие примеры:

а) Если вектор dS E. (При этом силовые линии скользят параллельно плоскости площадки и не пересекают её), (см. рис. 1.7):

Поток равен нулю.

Рисунок 1.7 − Силовые линии E параллельны плоскости площадки. Поток dФE=0

б) Если вектор dS||E. (При этом силовые линии перпендикулярны

Рисунок 1.8 − Силовые линии E перпендикулярны плоскости площадки. Поток максимален

9

Если поверхность нельзя представить в виде элементарной площадки, тогда полный поток через поверхность S вычисляется в виде интеграла (см.

S

Физический смысл ФЕ – это число силовых линий, выходящих через поверхность S. Отметим, что если линии вектора E на каком-то участке выходят из поверхности в туже сторону, что и вектор dS, то поток будет положителен, если же линии вектора E входят в площадку, то поток входящих линий будет отрицателен.

Рисунок 1.9 − Поток вектора E через произвольную поверхность

1.4. Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля в вакууме

Начнём с определения. Теорема Остроградского – Гаусса:

В вакууме поток вектора напряженности E через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов, охваченных

Рисунок 1.10 − Напряженность поля суммы зарядов через замкнутую поверхность

Следует иметь в виду, что обычно единичный вектор нормали n направляют наружу. В этом случае выходящие из поверхности линии дают поток со знаком («+»), а входящие внутрь линии дают поток со знаком («-»).

10