Материал: Электричество и магнетизм. Курс лекций. Стрелядкин

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Доказательство теоремы Остроградского Гаусса приведено в приложении 1. В приложении 2 рассмотрены примеры использования теоремы для расчета напряженности полей. Приведем полученные соотношения:

1. Напряженность электрического поля бесконечной заряженной нити с линейной плотностью заряда τ:

E	τ	,

	2π ε0 r

где r – расстояние до нити.

2. Напряженность электрического поля бесконечной заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ:

E	σ

	2 ε0

от расстояния не зависит.

1.5. Работа сил электростатического поля

Работа по перемещению заряда в электростатическом поле не зависит от формы пути, а зависит только от начального и конечного положения заряда (т.е. электростатические силы являются потенциальными или консервативными).

Рисунок 1.11 − Перемещение заряда в электростатическом поле

Рассмотрим перемещение заряда q в однородном электрическом поле

напряжённостью Е по двум различным траекториям: по участку 1-2 и по
участку 1-3-2, (см. рис. 1.11). Покажем, что A12=A132. Действительно:

A12 F l12 F l12 cosα q E l12 cosα q E l13
A	A	A	32	F l	cos0 F l	23	cos90 q E l	A
132	13		32	13		23	13	12

Можно показать, что при любом перемещении заряда в электрическом поле работа поля не зависит от формы пути. Для этого достаточно разбить траекторию на маленькие прямоугольники, по аналогии с рисунком 1.12. Таким образом, мы показали, что статическое электрическое поле является консервативным (потенциальным).

Выражение для работы электрического поля при перемещении заряда на любом участке ab имеет вид:

b		b
Aab	F d l	q	E d l	(1.11)
a		a
		11

Рисунок 1.12 − Работа силы F на участке 3-2 равна нулю

Поставим задачу. Найдем работу сил электростатического поля по перемещению пробного заряда qпр в поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2, (см. рис. 1.12). Разобьем траекторию 1-2 на два участка 1-3 и 3-2, так, что точки 3 и 2 находятся на одинаковом расстояния до заряда Q.

A12 A13 A32

F d l F cos0 dl F cos90 dl Fdr

Здесь мы учли, что r3

равно r2, а на участке 3-2 сила перпендикулярна

перемещению, поэтому и работа А32

равна нулю. С учетом закона Кулона,

окончательно получаем:

r2 1

Q qпр

A12 Fdr

Q qпр

(1.12)

4π ε0

С другой стороны, в потенциальных полях работа поля равна убыли

потенциальной энергии:

A12 WП1 WП2

(1.13)

Сравнивая (1.12) и (1.13), получим выражение для потенциальной энергии пробного заряда qпр в поле точечного заряда Q:

W	1	Q qnp	const
W			const
П	4π ε0	r
	4π ε0	r

Важно! Обычно потенциальную энергию на бесконечности принимают равной нулю WП(r= )=0, тогда const в предыдущем уравнении равна нулю.

Итак. Потенциальная энергия пробного заряда в поле точечного заряда Q:

W	1	Q qnp	,	(1.14)
W			,	(1.14)
П	4π ε0	r
	4π ε0	r

где r – расстояние между зарядами.

1.6. Потенциал поля точечного заряда. Потенциал, создаваемый системой зарядов

По определению потенциалом электростатического поля в заданной точке пространства (см. рис. 1.13) называется энергетическая

характеристика этого поля, равная отношению потенциальной заряда qпр помещенного в данную точку к величине заряда qпр:

WП

qnp

энергии WП

(1.15)

Рисунок 1.13 − Схема определения потенциала электростатического поля в точке A

Физический смысл потенциала в том, что он численно равен потенциальной энергии пробного единичного заряда, помещенного в рассматриваемую точку поля.

Найдём потенциал поля созданный точечным зарядом Q в точке на

расстоянии r от него, воспользовавшись уравнением (1.16).

Q qnp

(1.16)

4π

ε0 r qnp

4π

qnp

ε0 r

где Q – точечный заряд;

r – расстояние до рассматриваемой точки.

(Это формула для потенциала поля, созданного точечным зарядом)

Потенциал, создаваемый системой зарядов равен алгебраической сумме

потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности.
i	(1.17)

Это свойство следует из принципа суперпозиции. (Потенциал - скаляр, поэтому его рассчитать легче, чем напряженность).

Если в пространстве (x, y, z) задан потенциал (x,y,z), то потенциальная

энергия заряда q в данной точке равна:
WП q	(1.18)

(Это связь потенциальной энергии и потенциала)

1.7. Разность потенциалов

Пусть даны потенциалы 1 и 2 в двух точках пространства. Чему равна работа A12 сил поля по перемещению qпр из точки 1 в точку 2, (см. рис. 1.14)?

Рисунок 1.14 − Схема к расчету работы силы поля по перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2

Работа силы поля A12	по перемещению	qпр из точки 1	в точку 2
определяется выражением:		qпр 2 1
A12 WП1 WП2	qпр 1 qпр 2	qпр 2 1	(1.19)

Элементарная работа при малом перемещении: dA q d .

Рассмотрим вопрос. Какую работу совершает поле, если заряд удалить на бесконечность? (см. рис. 1.15).

Рисунок 1.15 − Схема к расчету работы силы поля по перемещению пробного заряда в бесконечность

Потенциал на бесконечности принят равным нулю: ( ) WП ( )qnp 0 ,

поэтому работа по перемещению заряда в бесконечность определяется по

формуле:

A1 qпр 1 qпр 1 ,

если пробный заряд qпр=1, то работа равна A1∞=φ1. Следовательно, потенциал численно равен работе, которую совершает поле при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Работа внешних сил (против сил поля) противоположна по знаку работе сил поля:

Aвнеш Aполя q 2 1

12 12

Единица измерения потенциала в СИ: [ ]=В (Вольт) = Дж/Кл.

1.8. Напряжённость электростатического поля как градиент потенциала

Найдем работу dA, при условии, что заряд q перемещается в поле

напряжённостью E вдоль оси x на расстояние dx. (см рис. 1.16):

dA F dx F cosα dx Ex q dx .

Рисунок 1.16 − Схема к расчету элементарной работы поля

Здесь мы учли, что F∙cosα=Fx=qdx является проекцией силы на ось x. С

другой стороны: dA=−q∙dφ, т.е. Ex∙q∙dx=−q∙dφ.

В результате получаем связь проекции напряженности электрического поля с потенциалом:

Ex	d	(1.20)
	dx

Строго говоря, в правой части (1.20) должна использоваться		частная

производная по х. Аналогично, выражения для других проекций электростатического поля имеют вид:

, Ey

, Ez

(1.21)

Соотношение (1.21) можно записать векторно:

grad ,

(1.22)


где	i , j, k - орты системы координат.
	(Связь напряжённости электрического поля с потенциалом)
По определению векторная величина в круглой скобке называется
градиентом и обозначается как grad.

	grad		i		j		k

		x		y		z

Отметим физический смысл градиента. Градиент это вектор, который указывает направление и величину самого крутого подъёма функции. (Альпинисты любят трудности и лезут по градиенту, по самому крутому подъёму, а вода стекает противоположно градиенту).

1.9. Циркуляция вектора напряжённости

На произвольном участке пути 1-2 работа поля связана с потенциалом

соотношением:

A12 q 1 2 .

Найдем работу поля по замкнутому контуру (см. рис. 1.17): A121 q ( 1 1) 0

A121 q E d l 0

Рисунок 1.17 − Схема к определению работы поля по контуру

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
_РГР № 3