Материал: Электричество и магнетизм. Курс лекций. Стрелядкин

(Энергия магнитного поля в катушке индуктивности)

Можно показать, что если магнитное поле однородно, то энергия поля, заключенная в единице объема, или объемная плотность энергии магнитного поля равна:

где В – индукция магнитного поля; Н – напряженность магнитного поля;0 – магнитная постоянная;

- магнитная проницаемость среды.

Вприложении 6 и 7 рассмотрена теория и уравнения Максвелла.

6.КОЛЕБАНИЯ

6.1Единый подход к колебаниям различной физической природы

Точное определение колебаний дать сложно. Объединяющим для

колебаний является периодичность или приблизительная периодичность процессов.

Рисунок 6.1 − Периодический процесс с периодом Т

Строго периодичным называется процесс бесконечный во времени, для которого справедливо f(t)=f(t+T), здесь Т – период.

Очевидно, что таких процессов в природе не существует, хотя бы потому, что любой процесс ограничен по времени. Поэтому в определении колебаний говорится о приблизительной периодичности процесса.

Примеры колебаний: маятник часов, приливы-отливы, переменный ток, звук, электромагнитные волны. При этом периодически изменяются различные физические величины: координаты, ток, плотность, напряжённость электрического и магнитного поля.

51

Самое удивительное в том, что совершенно различные с виду колебательные явления описываются одинаковыми математическими уравнениями и поэтому обладают одинаковыми свойствами. Изучая колебания в механике, можно понять некоторые оптические явления и наоборот.

Советский физик А.И. Мандельштам с полным основанием утверждал, что главные открытия в физике по существу были колебательными.

Хотя мы будем рассматривать только временные колебания, повторяющиеся во времени, следует знать, что понятие колебаний распространяют и на процессы, повторяющиеся в пространстве. Это т.н. пространственные колебания.

6.2. Гармонические колебания

Рассмотрим колебания тела на пружине в отсутствие трения (см. рис.6.2): m – масса тела, k – жёсткость пружины. На тело действует упругая возвращающая сила F=−k∙x, где x – смещение из положения равновесия.

Рисунок 6.2 − Колебания тела на пружине

Из уравнения движения m∙a=F получаем дифференциальное уравнение для гармонических колебаний:

Это обыкновенное однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решением является

гармоническое колебание, которое имеет вид (см. рис. 6.3):

где А – амплитуда колебания, (амплитуда соответствует максимальному отклонению от положения равновесия),

ω - круговая частота,

ω t – фаза колебания,

− начальная фаза, соответствует фазе при t=0.

52

Рисунок 6.3 − График гармонического колебания

Далее мы убедимся, что такое же дифференциальное уравнение (6.1) и такое же решение (6.2) будет описывать огромное число колебательных процессов. Отличие будет заключаться только в коэффициенте перед переменной x. (Вместо k/m будут другие параметры соответствующей колебательной системы).

Величины А и φ в (6.2) определяются начальными или граничными условиями, ω − круговая частота, определяется параметрами колебательной системы: оказывается, что всегда ω2 равна коэффициенту перед x в уравнении

(6.3):

Периодом колебаний T=2π/ω называют время одного полного колебания. Частота ν=1/T − это число колебаний за единицу времени.

Частота связана с круговой частотой соотношением:

Единица измерения [ ]=Гц.

Уравнение гармонических колебаний описывает бесконечное число различных физических явлений:

1)звук:∆p=∆p0∙cos(ω∙t+φ) - изменение давления в точке,

2)свет: E=E0∙cos(ω∙t+φ) - напряженность электрического поля в точке

экрана.

Энергия гармонических колебаний грузика на пружинке складывается из

кинетической энергии и потенциальной (W=WК+WП). Кинетическая энергия грузика m равна:

Аналогичное выражение для потенциальной энергии сжатой пружины имеет вид:

Учитывая что ω2=k/m, получим выражение для полной энергии колебательной системы в любой момент времени:

53

W WΚ WΠ k A2 2

Нетрудно видеть, что это выражение не зависит от времени и равно максимальной потенциальной энергии сжатой пружины.

6.3 Векторные диаграммы. Кинематика гармонических колебаний

Гармоническое колебание x=A∙cos(ω∙t+φ) можно представить на векторной диаграмме в виде проекции на ось x вектора длиной А, вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью ω (см. рис. 6.4).

Рисунок 6.4 − Представление колебания на векторной диаграмме

В момент времени t=0, фаза равна φ и вектор A отклонён на угол φ. В момент времени t угол увеличивается на ω∙t и полный угол поворота вектора A составляет (ω∙t+φ).

6.4. Сложение (суперпозиция) скалярных колебаний и векторных колебаний одного направления

Пример сложения скалярных колебаний - звук. Два звуковых колебаний, имеющих одинаковую круговую частоту ω создают колебания давления,

При сложении двух звуковых волн получаем результирующее колебание:

Δp Δp1 Δp2

Рисунок 6.5 – Пример сложения векторных колебаний E1 и E2 , имеющих одинаковое

направление

Пример векторных колебаний – электромагнитные волны, например свет. Напряжённость электрического поля в некоторой точке экрана можно выразить

При сложении двух световых волн в данной точке экрана они складываются скалярно Е=Е1+Е2 только при условии, что колебания имеют одинаковое направление, т.е. E1||E2, иначе колебания должны складываться векторно (рис. 6.5).

Пусть складываются векторные колебания одного направления (или

Геометрическое сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты эквивалентно сложению векторов на векторной диаграмме (см. рис. 6.6.) При этом результирующий вектор А и весь треугольник вращается с частотой ω против часовой стрелки. А результирующее колебание x является проекцией вектора А на горизонтальную ось X.

Если складываются колебания от многих источников, то последовательно складываются все векторы (см. рис. 6.7).

Рисунок 6.6 − Сложение двух колебаний одинаковой частоты на векторной диаграмме

Рисунок 6.7 − Сложение трех скалярных колебаний одинаковой частоты

55