Материал: Электричество и магнетизм. Курс лекций. Стрелядкин

Условия max и min при сложении двух колебаний:

1) Условие max амплитуды реализуется, если φ1=φ2 (точнее φ1−φ2=2π∙n, n − целое число). В этом случае А=А1+А2 – получим в сумме максимальную амплитуду результирующего колебания (см. рис. 6.8). Поэтому условие максимума для разности фаз имеет вид:

(условие max)

2) Условие min амплитуды реализуется, если φ1=π+φ2 (точнее φ1−φ2=π+2π∙n, n − целое число). В этом случае А=А1-А2 – получим в сумме минимальную амплитуду результирующего колебания (см. рис. 6.9). Поэтому

условие минимума имеет вид:

Рисунок 6.8 − Векторная диаграмма для условия максимума при сложении двух колебаний А=А1+А2

Рисунок 6.9 − Векторная диаграмма для условия минимума при сложении двух колебаний А=|А1−А2|

6.5 Электрический колебательный контур

Простейший колебательный контур состоит из индуктивности L и параллельно подключённой ёмкости С. (см. рис. 6.10).

Рисунок 6.10 − Колебательный контур

56

7. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ. ВЫНУЖДЕННЫЕ

КОЛЕБАНИЯ

7.1. Свободные затухающие колебания. Логарифмический декремент и добротность

Часто на тело действует не только упругая сила F=−k∙x, но и сила сопротивления или трения FТР=−r∙dx/dt, пропорциональная скорости тела (противоположно ей направлена). Уравнение движения приобретает вид:

Это уравнение свободных затухающих колебаний. Здесь параметры А и ω определяются начальными условиями. По определению величину β=r/(2∙m) называют коэффициентом затухания, ω0=(k/m)1/2 является частотой свободных незатухающих колебаний.

Частота затухающих колебаний определяется формулой:

График затухающего колебания представлен на рис. 7.1. Амплитуда такого колебания убывает по закону A0∙exp(−β∙t).

57

Строго говоря, это график не периодической функции, но для него можно ввести условный период T=2π/ω.

Рисунок 7.1 − График затухающего колебания

2) При большом коэффициенте затухания β>ω0 решением является апериодическое колебание. При этом амплитуда без колебаний быстро спадает до нуля.

Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный

Величина 1/ϑ равна числу колебаний (числу периодов) за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Добротностью Q называется величина Q=π/ϑ. Чем выше добротность колебательной системы, тем медленнее затухают колебания.

7.2 Вынужденные колебания. Резонанс

Если на колебательную систему действует периодическая внешняя вынуждающая сила F(t), то колебания называют вынужденными.

Наиболее часто встречается гармоническое возмущение F(t)=F0∙cos(Ω∙t), где Ω − частота возмущающей силы. Дифференциальное уравнение

ω0 mk .

На рис. 7.2 и 7.3 приведены зависимости амплитуды А и фазы φ1 от частоты Ω внешней силы (резонансные кривые).

1)При Ω<<ω0 амплитуда A≈F0/(m∙ω2)=F0/k имеем статическую деформацию под действием постоянной силы F0.

2)При Ω>>ω0 амплитуда A≈F0/(m∙Ω2), т.е. амплитуда быстро уменьшается с ростом частоты Ω.

3)Максимальная амплитуда Amax соответствует частоте резонанса:

где ω=(ω02−β2)1/2 - собственная циклическая частота колебаний системы.

При малом коэффициенте затухания β резонанс наступает при частоте возмущений близкой к частоте собственных колебаний системы.

Отметим, что выражение (7.6) для амплитуды и фазы вынужденных колебаний относятся к установившемся колебаниям, которые получаются в результате длительного воздействия вынуждающей силы. В такое состояние колебательная система переходит не сразу, а в результате некоторого переходного процесса, изучение которого выходит за рамки нашего курса.

Рисунок 7.2 − Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынужденных колебаний Ω

Рисунок 7.3 − Зависимость фазы вынужденных колебаний от частоты вынужденных колебаний Ω

59