Материал: Чернова Н.И. - Теория вероятностей - 1999

выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей K белых шаров и N K не белых.

Таблицу распределения читатель может нарисовать самостоятельно.

Заметьте, что со всеми этими распределениями мы уже хорошо знакомы.

Но распределения случайных величин далеко не исчерпываются дискретными распределениями. Так, например, если точка бросается наудачу на отрезок [0,1], то можно задать случайную величину, равную координате этой точки. Но число значений этой случайной величины не счетно, так что ее распределение дискретным не является. Да и вероятность этой случайной величине принять каждое из своих возможных значений (попасть в точку) равна нулю. Так что не только таблица распределения не существует, но и соответствие «значение величины $ вероятность его принять» ничего не говорит о распределении случайной величины.

Какими же характеристиками еще можно описать распределение?

35

Раздел 7. Функция распределения

Заметим, что на том же отрезке [0,1] вероятности попадания в множества положительной меры совсем не нулевые. И термин «наудачу» мы когда-то описывали как раз в терминах вероятностей попадания в множества.

Может быть, разумно описать распределение случайной величины, задав для любого множества вероятность принять значения из этого множества? Это действительно полная характеризация распределения, но уж очень трудно с ней работать — слишком много множеств на прямой.

Нельзя ли обойтись заданием вероятностей попадания в какой-нибудь меньший набор множеств на прямой? Оказывается, что можно ограничиться только вероятностями попадания в интервалы ( 1; x) для всех x 2 R, с помощью которых можно будет определить и вероятность попасть в любое другое множество.

Замечание 11. Можно с таким же успехом ограничиться набором вероятностей попадания в интервалы ( 1; x], или в (x; 1), или в [x; 1), или в (x1; x2). Впрочем, последних уже слишком много.

Определение 28.

Функцией распределения случайной величины называется функция F (x) : R ! [0; 1], при каждом x 2 R равная

F (x) = P( < x) = Pf! : (!) < xg:

Пример 24. Случайная величина имеет вырожденное распределение Ic. Тогда

Пример 25. Случайная величина имеет распределение Бернулли Bp. Тогда

Пример 26. Будем говорить, что случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a; b] и писать = Ua;b (“uniform”), если — координата точки, брошенной наудачу на отрезок [a; b] числовой прямой. Это распределение можно задать и с помощью функции распределения:

Упражнение 8. Построить графики функций распределения для распределения Пуассона, биномиального и геометрического распределения.

36

7.1Свойства функции распределения

Теорема 18.

Функция распределения F (x) обладает следующими свойствами:

F1) Функция распределения F (x) не убывает: если x1 < x2; òî F (x1) 6 F (x2);

Доказательство свойства (F1).

Åñëè x1 < x2, òî f < x1g f < x2g. Поэтому F (x1) = Pf < x1g 6 Pf < x2g = F (x2).

Доказательство свойства (F2).

Замечание 12. Если ряд, составленный из неотрицательных слагаемых ai, сходит-

F ( n) ! 0 ïðè n ! 1.

Представим событие f < 17g (например) как счетное объединение событий:

f < 17g = : : : [ f 20 6 < 19g [ f 19 6 < 18g [ f 18 6 < 17g =

1

[

= f i 1 6 < ig:

i=17

Используя -аддитивность вероятности, и помня, что Pf < 17g 6 1, получим:

Pf i 1 6 < ig = Pf < ng = F ( n);

i=n

и сходимость F (x) к нулю при x ! 1 доказана.

Итого: есть ряд, составленный из вероятностей, сумма которого тоже есть вероятность и, следовательно, конечна. А из того, что ряд сходится, по замечанию 12 вытекает сходимость «хвоста» ряда к нулю. Осталось посмотреть на этот хвост и убедиться,

37

мы с вами доказали, а теорема утверждает, что любая функция с такими свойствами есть функция распределения.

Теорема 19. Если функция F : R ! [0; 1] удовлетворяет свойствам (F1)–(F3), òî F есть функция распределения некоторой случайной величины , то есть найдется вероятностное пространство h ; F; Pi и случайная величина на этом пространстве, что

F (x) F (x).

Эту теорему мы доказывать не станем. Хотя ее можно попробовать доказать конструктивно — предъявив то вероятностное пространство (проще всего отрезок = [0; 1] с -алгеброй борелевских множеств и мерой Лебега :-) и ту случайную величину, о существовании которых идет речь. Непременно попробуйте сделать это! Например, можно попробовать, не подойдет ли (!) = supfx : F (x) < !g.

Упражнение 9. Докажите сами (точно так же, как мы доказывали (F2) è (F3)).

Заметим, что разница F (x0+0) F (x0) между пределом при стремлении к x0 справа и значением в точке x0 есть величина скачка функции распределения, и равна нулю, если функция распределения непрерывна (справа) в точке x0. Слева, напомню, функция распределения непрерывна всегда.

Следствие 4. Если функция распределения F (x) непрерывна в точке x0, òî

P( = x0) = 0:

F5) Для любой случайной величины имеет место равенство P(a 6 < b) = F (b) F (a).

Если же функция распределения F (x) непрерывна (для любого x, или только в точках a и b), то

P(a 6 < b) = P(a < < b) = P(a 6 6 b) = P(a < 6 b) = F (b) F (a):

Доказательство. Доказывать нужно только равенство P(a 6 < b) = F (b) F (a), поскольку все остальные равенства следуют из него с учетом следствия 4. Напомню, что этим равенством мы уже много раз пользовались, доказывая свойства (F2), (F3).

Заметим, что f < ag [ fa 6 < bg = f < bg, и первые два события несовместны. Поэтому

Pf < ag + Pfa 6 < bg = Pf < bg;

или F (a) + Pfa 6 < bg = F (b), что и требовалось доказать.

Функция распределения дискретного распределения

Мы уже видели, как выглядят функции распределения некоторых дискретных распределений.

Из свойств (F4), (F5) следует

39