Материал: Чернова Н.И. - Теория вероятностей - 1999

(найти в таблице!).

Смысла в запоминании числа 0.0027 нет никакого, а вот помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах [a 3 ; a + 3 ], всегда полезно.

45

Раздел 9. Случайные вектора и их распределения

Определение 30. Если случайные величины 1; : : : ; n заданы на одном вероятностном пространстве, то вектор ( 1; : : : ; n) мы будем называть случайным вектором.

Определение 31. Функция F 1;:::;n (x1; : : : ; xn) = P( 1 < x1; : : : ; n < xn) называется

функцией распределения случайного вектора ( 1; : : : ; n) èëè функцией совместного рас-

пределения случайных величин 1; : : : ; n.

9.1Свойства функции совместного распределения

Для простоты обозначений все дальнейшие рассуждения и формулировки приво-

Доказательство этих свойств совершенно аналогично одномерному случаю.

Только теперь этих свойств оказывается недостаточно для описания класса функций совместного распределения. Иначе говоря, выполнение этих свойств для некоторой функции F : R2 ! R вовсе не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторого случайного вектора.

Упражнение 12. Доказать, что функция

(

F (x1; x2) =

0; x1 6 0 èëè x2 6 0 èëè x1 + x2 6 1;

1; иначе, то есть когда одновременно x1 > 0; x2 > 0; x1 + x2 > 1:

a) удовлетворяет всем свойствам (F0)-(F3);

б) не является функцией распределения никакого вектора ( 1; 2) хотя бы потому, что, найдись такой вектор, найдется и прямоугольник [a1; b1] [a2; b2], вероятность попасть в который (вычисленная с помощью этой «функции распределения») отрицательна:

P(a1 6 1 < b1; a2 6 2 < b2) < 0!

Как же связана вероятность вектору попасть в прямоугольник с функцией распределения этого вектора?

Упражнение 13. Доказать, что

P(a1 6 1 < b1; a2 6 2 < b2) = F 1;2 (b1; b2) F 1;2 (a1; b2) F 1;2 (b1; a2) + F 1;2 (a1; a2): (12)

Оказывается, если потребовать дополнительно от функции F , чтобы для всякого прямоугольника [a1; b1] [a2; b2] вероятность P (a1 6 1 < b1; a2 6 2 < b2), связанная с функцией F равенством (12), была неотрицательна, то любая функция, обладающая этим свойством и свойствами (F0)-(F3), уже будет функцией распределения некоторого случайного вектора.

46

На самом деле существо свойства (F2) в той его части, что касается предела на бесконечности, весьма туманно. Утверждает это свойство гораздо больше, чем просто «предел функции совместного распределения при стремлении одной координаты к бесконечности есть тоже функция распределения». Но как в общем случае проверить, что это не просто «некая функция распределения», но функция распределения оставшейся координаты вектора ( 1; 2)? Если, не лукавя, рассмотреть в упражнении 12

F1(x1) = limx2!1 F (x1; x2) и F2(x2) = limx1!1 F (x1; x2), то обе эти функции являются функциями распределения (вырожденного закона, т.е. случайных величин 1 = 0 и 2 = 0

п.н.). Но две вырожденные случайные величины независимы, и их функция совместного распределения равна 1 в первом квадранте (не включая его границу) и нулю в остальных квадрантах, но никак не равна F . Оставляю на суд читателя вопрос о том, выполнено ли все-таки условие (F2) для F из упражнения 12.

9.2Типы многомерных распределений

Ограничимся рассмотрением только двух случаев, когда совместное распределение координат случайного вектора ( 1; 2) ëèáî дискретно, ëèáî абсолютно непрерывно.

Дискретное совместное распределение

Определение 32. Говорят, что случайные величины 1; 2 имеют дискретное совместное распределение, если существует конечный или счетный набор fai; bjg такой, что

11

XX

P( 1 = ai; 2 = bj) = 1:

i=1 j=1

Таблицу, на пересечении i-й строки и j-го столбца которой (или наоборот) стоит число

P( 1 = ai; 2 = bj), называют таблицей совместного распределения случайных величин

1 è 2.

Замечание 16. Напомню, что таблицы распределения каждой из случайных величин1, 2 в отдельности (таблицы частных, или маргинальных распределений) восстанавливаются по таблице совместного распределения с помощью очевидных формул:

Если эти формулы вам не представляются очевидными, необходимо вернуться к разделу 4 и перечитать определение 18 полной группы событий, обратив также внимание на доказательство теоремы 8 (формулы полной вероятности).

Абсолютно непрерывное совместное распределение

Определение 33. Говорят, что с.в. 1; 2 (заданные на одном вероятностном пространстве) имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, если существует функция f 1; 2 (x1; x2) > 0 такая, что для любой точки (x1; x2) 2 R2

Если такая функция f 1; 2 (x1; x2) существует, она называется плотностью совместного распределения случайных величин 1; 2.

47

Замечание 17. Для всего дальнейшего более чем достаточно считать, что

равняется объему под графиком функции f над областью интегрирования — прямоугольником [a1; b1] [a2; b2].

Плотность совместного распределения обладает свойствами, аналогичными свойствам плотности распределения одной случайной величины:

Более того, любая функция, обладающая этими свойствами, является плотностью некоторого совместного распределения.

Если совместное распределение абсолютно непрерывно, то по функции совместного распределения его плотность находится как смешанная частная производная:

Из свойства (F2) функции совместного распределения вытекает следующее утверждение. Для n > 2 это утверждение, как и свойство (F2), выглядит существенно иначе!

Теорема 22. Если случайные величины 1; 2 имеют абсолютно непрерывное совместное распределение с плотностью f(x1; x2), òî 1 è 2 в отдельности также имеют абсолютно непрерывное распределение с плотностями:

| {z }

f 2 (s2)

9.3Независимость случайных величин

Определение 34. Случайные величины 1; : : : ; n независимы, если для любого набора множеств B1 R, : : : , Bn R (из борелевской -алгебры — для тех, кто прочитал, что это такое, или произвольных — для тех, кто не прочитал) имеет место равенство:

P( 1 2 B1; : : : ; n 2 Bn) = P( 1 2 B1) : : : P( n 2 Bn):

48

Это определение можно сформулировать в терминах функций распределения:

Определение 35. Случайные величины 1; : : : ; n независимы, если для любых x1; : : : ; xn имеет место равенство:

F 1;:::; n (x1; : : : ; xn) = F 1 (x1) : : : F n (xn):

Упражнение 14. Доказать, что из независимости в смысле определения 34 следует независимость в смысле определения 35 (доказательство в обратную сторону см. (только см.!) в §4 гл.3 учебника А.А.Боровкова «Теория вероятностей»).

Для случайных величин с дискретным распределением эквивалентное определение независимости выглядит так:

Определение 36. Случайные величины 1; : : : ; n с дискретным распределением независимы, если для любых a1; : : : ; an имеет место равенство:

P( 1 = a1; : : : ; n = an) = P( 1 = a1) : : : P( n = an):

Упражнение 15. Доказать, что для случайных величин с дискретным распределением определения 34 è 36 эквивалентны.

Для случайных величин с абсолютно непрерывным совместным распределением определение независимости можно сформулировать так:

Определение 37. Случайные величины 1; : : : ; n с абсолютно непрерывным совместным распределением независимы, если плотность совместного распределения равна произведению плотностей случайных величин 1; : : : ; n, то есть для любых x1; : : : ; xn имеет место равенство: f 1;:::; n (x1; : : : ; xn) = f 1 (x1) : : : f n (xn).

Доказательство. Докажем эквивалентность определений 35 è 37. По теореме 22, если совместное распределение 1; : : : ; n абсолютно непрерывно, то и в отдельности1; : : : ; n также имеют абсолютно непрерывное распределение. Пусть случайные вели- чины 1; : : : ; n независимы в смысле определения 35, то есть для любых x1; : : : ; xn

x1 xn

ZZ

: : : f 1;:::; n (s1; : : : ; sn) dsn : : : ds1 = F 1;:::; n (x1; : : : ; xn) =

1 1

=ïî îïð. 35 = F 1 (x1) : : : F n (xn) =

Равенство двух синих интегралов при всех значениях x1; : : : ; xn влечет равенство подынтегральных выражений, то есть независимость в смысле определения 37. Для доказательства в обратную сторону можно использовать те же равенства, но в другом порядке.

49