Материал: Чернова Н.И. - Теория вероятностей - 1999

1.2Основные понятия элементарной теории вероятностей

Предмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость.

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах (явлениях). Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать заранее — основное, что отличает

случайное явление от детерминированного.

Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях и обладают (непонятно как проверяемым заранее) свойством «статистической устойчивости»: если A — некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля n(A)=n числа экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов n, приближаясь к некоторому числу P(A). Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию A произойти.

В дальнейшем мы будем говорить лишь о случайных экспериментах, обладающих данными свойствами, а свойство статистической устойчивости докажем в утверждении, известном как закон больших чисел Я. Бернулли.

Пространство элементарных исходов. Операции над событиями

Определение 1. Пространством элементарных исходов («омега»)´ называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой ! («омега»)´ с индексами или без.

Определение 2. Событиями мы будем называть подмножества множества . Говорят, что в результате эксперимента произошло событие A , если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество A.

Замечание 2. Вообще говоря, можно назвать событиями не обязательно все подмножества множества , а лишь множества из некоторого набора подмножеств. О смысле такого ограничения мы поговорим позднее.

Пример 1. Один раз подбрасывается одна игральная кость (кубик). Самый разумный способ задать пространство элементарных исходов таков: = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.

Примеры событий: A = f1; 2g — выпало одно или два очка; A = f1; 3; 5g — выпало нечетное число очков.

Пример 2. Два раза подбрасывается одна игральная кость (кубик). Или, что то же самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Как мы увидим в дальнейшем, здесь самый разумный способ задать пространство элементарных исходов — считать результатом эксперимента упорядоченную пару чисел (i; j), в которой 1 6 i; j 6 6 и i (j) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании: = f(i; j); где 1 6 i; j 6 6g:

Примеры событий:

A = f(1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6)g — при первом подбрасывании выпало одно очко;

A = f(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)g — при двух подбрасываниях выпало одинаковое число очков.

Пример 3. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать координату центра монеты (а если нам не безразличен угол поворота монеты, то можно добавить и величину этого угла). Пространство элементарных исходов —

5

множество точек стола (в втором случае — множество пар f(x; ')g, где x 2 R2 — точка стола и ' 2 [0; 2 ) — угол поворота). Число элементарных исходов такого эксперимента несчетно.

Пример 4. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, но счетного числа исходов:= fг, рг, ррг, рррг, ррррг, рррррг, : : : ; g, ãäå ð è ã обозначают выпадение решки и герба при одном подбрасывании, соответственно.

Определение 3.

1.Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, то есть единственное событие, включающее все без исключения элементарные исходы — событие .

2.Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, то есть событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» ?). Заметим, что всегда ? .

Определение 4. Пусть A и B — события.

1.Объединением A [ B событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошло либо A, либо B, либо оба события одновременно. На языке теории множеств A [B есть множество, содержащее как элементарные исходы, входящие в A, так и элементарные исходы, входящие в B.

2.Пересечением A \ B событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошли оба события A и B одновременно. То есть A \ B есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие одновременно в A и в B.

3.Дополнением AnB события B до A называется событие, состоящее в том, что произошло событие A, но не произошло B. То есть AnB есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в A, но не входящие в B.

4.Противоположным (èëè дополнительным) к событию A называется событие A = nA, состоящее в том, что событие A в результате эксперимента не произошло. Иначе говоря, A есть множество, содержащее элементарные исходы, не входящие в A.

Определение 5.

1.События A и B называются несовместными, åñëè A \ B = ?.

2.События A1; : : : ; An называются попарно несовместными, если для любых i 6= j, 1 6 i; j 6 n, события Ai è Aj несовместны.

3.Говорят, что событие A влечет событие B, и пишут A B, если всегда, как только происходит событие A, происходит и событие B. На языке теории множеств это означает, что любой элементарный исход, входящий в A, одновременно входит и в событие B.

Вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов

Предположим, что мы имеем дело с дискретным пространством элементарных исходов, то есть пространством, состоящим из конечного или счетного числа элементов:

= f!1; !2; : : : ; !n; : : : g:

6

Определение 6. Поставим каждому элементарному исходу !i 2 в соответствие число p(!i) 2 [0; 1] òàê, ÷òî

X

p(!i) = 1:

!i2

Назовем число p(!i) вероятностью элементарного исхода !i. Вероятностью события A называется число

X

P(A) = p(!i);

!i2A

равное сумме вероятностей элементарных исходов, входящих в множество A.

Замечание 3. Позднее, познакомившись с аксиоматикой теории вероятностей, мы зададим вероятности событий непосредственно, а не через вероятности элементарных исходов. Тем более, что сложением вероятностей элементарных исходов можно полу- чить лишь вероятность события, состоящего не более чем из счетного числа элементарных исходов (иначе само понятие суммирования не определено). Но на дискретном пространстве элементарных исходов определить вероятности событий так, как это сделано в определении 6, всегда возможно.

Перечислим очевидные в случае дискретного пространства элементарных исходов свойства вероятности, которые мы скоро докажем сразу в общем случае.

5. если A и B несовместны, то P(A [ B) = P(A) + P(B);

6. в общем же случае P(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B);

7. åñëè A B, òî P(A) 6 P(B).

Упражнение 3. Доказать перечисленные выше свойства, пользуясь определением 6.

Как видно, вероятностью может быть названа совершенно абстрактная функция, удовлетворяющая нескольким необременительным требованиям. Однако о необходимости «соответствия теории практике» тоже надо подумать.

Классическое определение вероятности

Предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа N элементов: = f!1; !2; : : : ; !N g. Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной 1=N.

Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте (симметричная монета, хорошо перемешанная колода карт, правильная кость). Либо мы можем заранее считать исходы эксперимента равновозможными, но тогда рано или поздно все равно возникнет вопрос о соответствии такой математической модели реальному эксперименту.

Если событие A = f!i1 ; : : : ; !ik g состоит из k элементарных исходов, то вероятность этого события равняется отношению k=N:

1 jAj

P(A) = p(!i1 ) + : : : + p(!ik ) = k N = j j;

где символом jAj обозначено число элементов конечного множества A.

7

Определение 7.

Говорят, что эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности (или классической вероятностной схеме), если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа j j = N равновозможных исходов.

В этом случае вероятность любого события A вычисляется по формуле

jAj

P(A) = j j;

называемой классическим определением вероятности. Эта формула читается так: «вероятность события A равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию A, к общему числу исходов».

Замечание 4. Полезно помнить классическую формулировку Якоба Бернулли: «Вероятность есть степень достоверности и отличается от нее как часть от целого»

(Ars Conjectandi, 1713 ã.)

Замечание 5. Мы видим теперь, что подсчет вероятности в классической схеме сводится к подсчету числа «шансов» (элементарных исходов), благоприятствующих какомулибо событию, и общего числа шансов. Как правило, это делается с помощью формул комбинаторики.

Рассмотрим описанные в параграфе 1.1 урновые схемы. Напомним, что речь идет об извлечении k шариков из урны, содержащей n шариков. При этом три схемы: с возвращением и с учетом порядка, без возвращения и с учетом порядка, а также без возвращения и без учета порядка удовлетворяют классическому определению вероятности. Общее число элементарных исходов в этих схемах подсчитано в теоремах 4, 2, 3 и равно, соответственно, nk, Akn, Cnk.

Четвертая же схема — схема выбора с возвращением и без учета порядка — имеет заведомо неравновозможные исходы.

Пример 5. Рассмотрим, скажем, выбор двух шариков из двух или, что то же самое, дважды подбросим монету. Если учитывать порядок, то исходов получится 4, и все они равновозможны, то есть имеют вероятность по 1/4:

(герб,герб), (решка,решка), (решка,герб), (герб,решка).

Если порядок не учитывать, то следует объявить два последних исхода одним и тем же результатом эксперимента, и получить три исхода вместо четырех: выпало

два герба, либо две решки, либо один герб и одна решка.

При этом первые два исхода имеют вероятность 1/4, а последний — вероятность 1/4+1/4=1/2.

Упражнение 4. Посчитать число элементарных исходов в примере 2 (при подбрасывании двух игральных костей). Каким станет пространство элементарных исходов, если порядок костей не учитывать? Посчитать число элементарных исходов в таком пространстве (пользуясь теоремой 5 или прямым подсчетом). Убедиться, что их ровно C72 = 21. Равновозможны ли эти исходы? Посчитать вероятность каждого исхода.

8

Р е ш е н и е. Заметим, что при k1 > n1 èëè k k1 > n n1 искомая вероятность равна 0, так как соответствующее событие невозможно. Пусть k1 6 n1 è k k1 6 n n1.

Результатом эксперимента является набор из k шаров. При этом можно не учитывать или учитывать порядок следования шаров.

1. Выбор без учета порядка. Общее число элементарных исходов есть число k- элементных подмножеств множества, состоящего из n элементов, то есть j j = Cnk (по теореме 3).

Обозначим через A событие, вероятность которого требуется найти. Событию A благоприятствует появление любого набора, содержащего k1 белых шаров и k k1 черных. Число благоприятных исходов равно произведению (по теореме 1) числа способов выбрать k1 белых шаров из n1 и числа способов выбрать k k1 черных шаров из n n1:

2. Выбор с учетом порядка. Общее число элементарных исходов есть число способов разместить n элементов на k местах: j j = Akn = n(n 1) : : : (n k + 1) (по теореме 2).

При подсчете числа благоприятных исходов нужно учесть как число способов выбрать нужное число шаров, так и число способов расположить эти шары среди k. Можно, скажем, посчитать число способов выбрать k1 мест среди k (равное Ckk1 ), затем число способов разместить на этих k1 местах n1 белых шаров (равное Akn11 — не забывайте про учет порядка!), и затем число способов разместить на оставшихся k k1 местах n n1 черных шаров (равное Akn kn11 ). Перемножив (почему?) эти числа, получим

В рассмотренной задаче мы сопоставили каждому набору из k1 белых и k k1 черных шаров вероятность получить этот набор при выборе k шаров из урны, содержащей n1 белых и n n1 черных шаров:

называется гипергеометрическим распределением.

9