Материал: Чернова Н.И. - Теория вероятностей - 1999

Определение 13.

Пусть — пространство элементарных исходов и F — -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью èëè вероятностной мерой на ( ; F) называется функция P : F ! R, обладающая свойствами:

Свойства (P1)–(P3) часто называют «аксиомами вероятности».

Определение 14. Тройка h ; F; Pi, в которой — пространство элементарных исходов, F — -алгебра его подмножеств и P — вероятностная мера на F, называется

вероятностным пространством.

Докажем свойства вероятности, вытекающие из аксиом. Здесь и в дальнейшем под знаком вероятности появляются только события!

0.P(?) = 0.

Доказательство. События Ai = ?, i = 1; 2; : : : , попарно несовместны, и их объединение есть также пустое множество. По аксиоме (P2),

11

XX

1.Для любого конечного набора попарно несовместных событий A1; : : : ; An 2 F имеет место равенство

n ! n

[X

Доказательство. Пусть Ai = ? при любом i > n. Вероятности этих событий, по предыдущему свойству, равны нулю. События A1; : : : ; An; ?; ?; ?; ?; : : : попарно несовместны, и, по аксиоме (P2),

2.P(A) = 1 P(A).

Доказательство. A [ A = , и события A, A несовместны. По аксиоме (P3) и предыдущему свойству, 1 = P( ) = P(A) + P(A):

3.Åñëè A B, òî P(BnA) = P(B) P(A).

Доказательство. B = A [ (BnA), и события A, BnA несовместны. По аксиоме (P2),

P(B) = P(A) + P(BnA).

15

4.Åñëè A B, òî P(A) 6 P(B).

Доказательство. По предыдущему свойству, P(A) = P(B) P(BnA) 6 P(B). Последнее неравенство следует из (P1), т.к. P(BnA) > 0.

5.0 6 P(A) 6 1.

Доказательство. P(A) > 0 по (P1), и т.к. A , то по предыдущему свойству

P(A) 6 P( ) = 1.

6.P(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B).

Доказательство. A \ B B, поэтому P(Bn(A \ B)) = P(B) P(A \ B). Но события A и Bn(A \ B) несовместны, поэтому

P(A [ B) = P(A [ Bn(A \ B)) = P(A) + P(Bn(A \ B)) = P(A) + P(B) P(A \ B):

7.P(A [ B) 6 P(A) + P(B).

Доказательство. Сразу следует из предыдущего свойства и аксиомы (P1).

n

P

8.P(A1 [ : : : [ An) 6 P(Ai). Доказать методом математической индукции.

i<j<m

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Базис индукции при n = 2 — свойство 6 выше. Пусть свойство 9 верно при n = k 1. Докажем, что тогда оно верно при n = k.

Подставить (4),(5) в (3) и довести до конца шаг индукции.

16

Приведем пример задачи, в которой использование свойства 9 — самый простой путь решения.

Пример 12. Есть n писем и n подписанных конвертов. Письма раскладываются в конверты наудачу. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет в предназначенный ему конверт и предел этой вероятности при n ! 1.

Р е ш е н и е. Пусть событие Ai, i = 1; : : : ; n означает, что i-е письмо попало в свой конверт. Тогда

A = fхотя бы одно письмо попадет в свой конвертg = A1[ : : : [An:

И так как события A1; : : : ; An совместны, придется использовать формулу (2). Нетрудно убедиться, что

образовать из n элементов, и каждое такое множество fi; j; mg встречается в индексах данной суммы единажды.

Выписать разложение e 1 в ряд Тейлора и убедиться, что P(A) ! 1 e 1 при n ! 1.

3.3О борелевской -алгебре и мере Лебега

Следующий параграф предназначен только для тех, кто не испугался всего сказанного выше и хочет познакомиться с понятиями « -алгебра борелевских множеств» è «мера Лебега».

Борелевская -алгебра на прямой

Пример 13. Пусть = R — вещественная прямая. Рассмотрим некоторые наборы множеств, не являющиеся -алгебрами, и увидим, как их можно дополнить до -алгебр.

1.Множество A = f ; ?; [0; 1]; f0gg = fR; ?; [0; 1]; f0gg не является -алгеброй, так как, например, [0; 1] = Rn[0; 1] = ( 1; 0)[(1; 1) 62A. Минимальный набор множеств, содержащий A и являющийся -алгеброй (минимальная -алгебра), получится, если включить в него всевозможные объединения, пересечения и дополнения множеств

17

èç A:

F = f R; ?; [0; 1]; f0g; ( 1; 0)[(1; 1); (0; 1]; ( 1; 0][(1; 1); ( 1; 0)[(0; 1) g

Более точно, минимальной -алгеброй, содержащей набор множеств A, называется пересечение всех -алгебр, содержащих A.

2.Найти минимальную -алгебру, содержащую A = fR; ?; [0; 1]; f3gg

3.Пусть множество A подмножеств вещественной прямой R состоит из всевозмож-

ных открытых интервалов (a; b), где a < b: A = f(a; b) : 1 < a < b < 1g.

(a) Проверить, что A ни в коем случае не является -алгеброй!

Указание: привести примеры двадцати множеств из A, дополнения к которым не принадлежат A; привести примеры пяти множеств из A, любые объединения которых не принадлежат A.

(b)Минимальная -алгебра, содержащая множество A всех интервалов на вещественной прямой, называется борелевской -алгеброй в R (Felix Edouard Justin Emile Borel) и обозначается B или B(R).

(c)Перечислим некоторые множества на прямой, содержащиеся в B. Таковы все привычные нам множества. Чтобы получить множество, не содержащееся в B, требуются специальные построения. Итак, мы знаем, что все интервалы на прямой принадлежат B, и B — -алгебра.

R принадлежит B. Это сразу следует из свойства (A1) -алгебры, но может быть доказано исходя из свойств (A2), (A3).

Любое одноточечное подмножество fbg R принадлежит B.

Действительно, fbg = (a; b ]n(a; b), а разность двух множеств из -алгебры снова принадлежит -алгебре.

Докажите, что, например, любые множества вида (a1; b1)[(a2; b2) принадлежит B, множество натуральных чисел N принадлежит B, множество рациональных чисел Q принадлежит B.

4.Борелевская -алгебра в Rn строится совершенно так же, как в R. Это должна

быть минимальная -алгебра, содержащая все множества вида (a1; b1) : : : (an; bn) (уже не интервалы, как в R, а «прямоугольники» в R2, «параллелепипеды» в R3

èò. ä.).

18

Мера Лебега

Когда мы говорили о геометрической вероятности, мы использовали термин «мера области A в Rm», имея ввиду «длину» на прямой, «площадь» на плоскости, «объем» в трехмерном пространстве. Являются ли все эти «длины-площади-объемы» настоящими мерами в смысле определения 11? Мы решим этот вопрос для прямой, оставляя плоскость и пространство большей размерности читателю.

Если вам уже расхотелось читать дальше, сообщаем: мерой Лебега в задачниках и

учебниках называют как раз «длину-площадь-объем», так что все в порядке.

Рассмотрим вещественную прямую с -алгеброй борелевских множеств. Эта - алгебра, по определению, есть наименьшая -алгебра, содержащая любые интервалы. Для каждого интервала (a; b) R число b a назовем «длиной интервала (a; b)». Мы не станем доказывать следующее утверждение:

-аддитивная функция) на (R; B), значение которой на любом интервале равно его

длине: (a; b) = b a. Эта мера называется мерой Лебега.

Это утверждение является следствием теоремы Каратеодори о продолжении меры с алгебры на -алгебру, применительно к (R; B). См. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин, Функциональный анализ или А.А.Боровков, Теория вероятностей.

Итак, мы ограничили набор событий только множествами из какой-нибудь -алгебры событий. Мы потребовали, чтобы вероятность была функцией только на множестве событий. Покажем, что это необходимо: построим пример множества на отрезке, мера Лебега которого («длина») просто не существует (множество Витали).

То есть: если рассмотреть бросание точки наудачу на отрезок, то вычислить вероятность попадания точки в указанное множество в соответствии с геометрической вероятностью нельзя. Значит, это множество нельзя считать событием — мы не умеем вычислить его вероятность!

Пример 14. Рассмотрим окружность единичного радиуса (реально это тот же отрезок [0; 2 ]). Возьмем любое иррациональное число . Поскольку оно иррационально, число n не является целым ни при каком целом n 6= 0 (то есть число 2 n равно 2 k лишь при n = k).

Поэтому если взять произвольную точку x 2 [0; 2 ], то есть точку на окружности, и перечислить все точки, которые получаются поворотом точки x на угол 2 n , n =1; 2; : : : , то мы ни разу не вернемся в точку x. Точек, получившихся из точки x такими поворотами, счетное число. Объединим их в один класс. С любой другой точкой окружности можно тоже связать класс точек, получающихся из нее поворотом на угол 2 n при каком-то n 2 Z.

То есть вся окружность разбивается на классы точек. В каждом классе счетное число точек, и все точки в одном классе получаются друг из друга такими поворотами. Причем эти классы не пересекаются.

Множество A0 определим так: возьмем из каждого такого класса ровно по одной точке. Пусть множество An получается поворотом всех точек множества A0 íà óãîë

2 n , n = 1; 2; : : : .

Так как все точки одного класса можно получить, поворачивая любую из них на угол 2 n , n = 1; 2; : : : , а в множестве A0 собрано по одной точке из каждого класса, то поворачивая это множество, получим все точки окружности.

19