Материал: Чернова Н.И. - Теория вероятностей - 1999

Приложение. Знакомьтесь — максимум и минимум

В этом разделе, который никогда не будет прочитан на лекциях, хотя бы потому, что эта тема подробно разбирается на практических занятиях, мы поговорим о «максимуме и минимуме из n случайных величин». Вдумчивый читатель уже смог догадаться, что к клубу «Максимин» ЭФ НГУ данная тема касательства не имеет.

Пусть с. в. 1; 2; : : : ; n; : : : независимы и одинаково распределены, F 1 (x) — их общая функция распределения.

Определение ¹ N. Случайную величину 'n = maxf 1; : : : ; ng назовем максимумом, а случайную величину n = minf 1; : : : ; ng — минимумом из n случайных величин

1; 2; : : : ; n.

Замечание ¹ N. Заметим на всякий случай, что 'n(!) = maxf 1(!); : : : ; n(!)g, òàê ÷òî 'n на каждом элементарном исходе совпадает с одной из i, 1 6 i 6 n, íî ни с одной из них не совпадает при всех ! (если с. в. независимы).

Упражнение ¹ N. Доказать, что вероятность максимуму из первых n независимых и одинаково распределенных случайных величин, имеющих, к примеру, равномерное распределение, равняться первой из них (или любой другой), есть 1=n:

1

P(maxf 1; : : : ; ng = 1) = n = P( 1 > 2; : : : ; 1 > n);

то есть «в среднем в 1=n случаев максимум совпадает с выбранной вами среди 1; : : : ; n величиной».

Для доказательства воспользоваться соображениями симметрии, разбив все пространство на не(сколько?) равновероятных событий типа f 1 > 2; : : : ; 1 > ng и несколько событий нулевой вероятности, включающих возможные равенства. Вспомнить, с какой вероятностью две (или больше) из f ig совпадают (нарисовать событие f 1 = 2g в квадрате на плоскости).

Лемма ¹ N. Функции распределения случайных величин 'n = maxf 1; : : : ; ng è n = minf 1; : : : ; ng равны, соответственно,

n n

F'n (x) = F 1 (x) è F n (x) = 1 1 F 1 (x) :

Доказательство. Найдем функцию распределения F'n (x). Максимум из n величин меньше x тогда и только тогда, когда каждая из этих величин меньше x.

Найдем функцию распределения F n (x). Минимум из n величин не меньше x тогда и только тогда, когда каждая из этих величин не меньше x.

95

отрезка — к 1. Не употребляя термин «последовательность», можно произнести это утверждение так: «максимум из первых n случайных величин с ростом n сходится к единице по вероятности».

Есть как минимум два способа доказательства:

Способ 1. По определению. Пусть " > 0. Найдем P(j'n 1j > "). Заметим, что 'n 6 1, поскольку это максимум из с. в., принимающих значения на отрезке [0; 1] (крайняя правая из «координат n точек, брошенных наудачу на [0,1] независимо друг от

96

Способ 2. Используем связь со слабой сходимостью. Сходимость по вероятности к

константе равносильна слабой сходимости (свойство 19). Докажем поэтому, что 'n слабо сходится к единице. Требуется доказать, что функция распределения F'n (x) сходится к F1(x) = P(1 < x) для любого x 6= 1 (почему кроме 1??).

При любом x 6= 1 имеем:

:

и только при x = 1 сходимости нет: F'n (1) = 1, тогда как F1(1) = 0.

Таким образом, 'n сходится слабо к единице, и, следовательно, сходится к ней же по вероятности.

Упражнение ¹ N+1. Доказать (способами 1(а), 1(б) и 2), что, в условиях примера N, последовательность 1; 2; : : : ; n; : : : сходится по вероятности к нулю (мы будем говорить «минимум из первых n случайных величин с ростом n сходится к нулю по вероятности»).

Красивых задач, связанных с максимумом и минимумом, слишком много. Предлагаю вам решить, например, следующие:

Пусть с. в. 1; 2; : : : ; n; : : : независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [a; b], 'n = maxf 1; : : : ; ng, n = minf 1; : : : ; ng. Доказать, что

n

1)b a(b 'n) при n ! 1 слабо сходится к показательному распределению с параметром 1;

n

2) точно так же себя ведет последовательность b a( n a);

3) это не удивительно, поскольку с. в. b 'n è n a одинаково распределены;

4)посчитав вероятность P( n > x; 'n < y) = P(x 6 1 < y) n, можно легко найти функцию совместного распределения с. в. n; 'n и с ее помощью, например, доказать зависимость этих с. в. (последнее и так очевидно, не правда ли?)

Теперь, наконец,

ПОРА ИЗУЧАТЬ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ СТАТИСТИКУ!

97

Рекомендуемая литература

[1]Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., 1988.

[2]Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. М., 1982.

[3]Боровков А. А. Теория вероятностей. М., 1986.

[4]Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Инфра-М, 1997.

На практических занятиях потребуется задачник:

[5] Коршунов Д. А., Фосс С. Г. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей. Новосибирск, 1997.

Для самостоятельной работы можно использовать также задачники с ответами и указаниями:

[6]Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А. М. Сборник задач по теории вероятностей. М., 1986.

[7]Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов, задачи и упражнения). М., 1973.

98