Материал: Чернова Н.И. - Теория вероятностей - 1999

Раздел 15. Характеристические функции

p

Всюду в этой главе i = 1 — мнимая единица, t — вещественная переменная, eit = cos t+ i sin t — формула Эйлера, E( + i ) = E + i E — способ вычисления математи- ческого ожидания комплекснозначной случайной величины + i , если математические ожидания ее действительной ( ) и мнимой ( ) частей существуют.

Определение 53. Функция ' (t) = E eit называется характеристической функцией

случайной величины .

15.1Примеры вычисления

Пример 52. Пусть с. в. имеет распределение Бернулли с параметром p. Ее характеристическая функция (х. ф.) равна

' (t) = E eit = eit 0 P( = 0) + eit 1 P( = 1) = 1 p + peit:

Пример 53. Пусть с. в. имеет биномиальное распределение с параметрами n и p. Ее х. ф. равна

n

= XCnk peit k (1 p)n k = 1 p + peit n: k=0

Последнее равенство суть бином Ньютона.

Пример 54. Пусть с. в. имеет распределение Пуассона с параметром . Ее х. ф. равна

85

Пример 56. Пусть с. в. имеет гамма-распределение с параметрами , . Ее х. ф. равна

Интеграл мы вычислили с помощью гамма-функции Эйлера:

Как всегда, при интегрировании мы выделили полный квадрат в показателе экспоненты

и вспомнили, чему равен интеграл по всей прямой от функции p1 e u2=2. А чему он

2

равен?

Самое время остановиться и спросить: "Ну и что? Зачем нам эти функции и какой от них прок?" Приглашаю читателя познакомиться с замечательными свойствами х. ф.

15.2Свойства характеристических функций

Ô1. Характеристическая функция всегда существует:

j' (t)j = jE eit j 6 E jeit j = E 1 = 1

Полезно вспомнить, что обычные математические ожидания существуют не у всех распределений.

Ô2. По характеристической функции однозначно восстанавливается распределение (функция распределения, а также плотность или таблица распределения). То есть если две с. в. имеют одинаковые х. ф., то и распределения этих с. в. совпадают.

Формулы, с помощью которых это делается, в анализе называют формулами «обратного преобразования Фурье». Например, если модуль х. ф. интегрируем на всей прямой, то у с. в. есть плотность распределения, и она находится по формуле (проверьте на примере примера 57)

Ни одна из формул обратного преобразования Фурье нам не понадобится.

86

Ô3. Характеристическая функция с. в. a + b связана с х. ф. случайной величины равенством

'a+b (t) = E eit(a+b ) = eita ' (tb):

Ô4. Характеристическая функция суммы независимых с. в. равна произведению характеристических функций слагаемых: если с. в. и независимы, то, по свойству E6 математических ожиданий

' + (t) = E eit( + ) = E eit E eit = ' (t) ' (t):

Этим замечательным свойством мы сразу же воспользуемся, как обещали, для доказательства леммы 6, утверждающей устойчивость нормального распределения относительно суммирования.

Пример 59. Доказательство леммы 6.

Пусть случайные величины = Na1; 12 è = Na2; 22 независимы. Характеристическая функция суммы + равна

То есть х. ф. суммы есть характеристическая функция нормального распределения с

параметрами a1 + a2, 2 + 2. Тогда + = N 2 2 по свойству 2.

1 2 a1+a2; 1+ 2

Пример 60. Докажем свойства устойчивости по суммированию биномиального распределения, распределения Пуассона и гамма-распределения (леммы 4, 5, 7), используя вычисленные в примерах 52–56 характеристические функции.

Для независимых с. в. с распределениями Пуассона и х. ф. суммы

' + (t) = ' (t) ' (t) = exp eit 1 exp eit 1 = exp ( + ) eit 1

равна характеристической функции распределения Пуассона с параметром + .

Для независимых с. в. с биномиальными распределениями Bn;p è Bm;p х. ф. суммы

равна характеристической функции гамма-распределения с параметрами , n.

87

Ô5. Пусть существует момент порядка k = 1; 2; : : : случайной величины , то есть Ej jk < 1. Тогда ее характеристическая функция ' (t) непрерывно дифференцируема k раз, и ее k-я производная в нуле связана с моментом порядка k равенством:

Существование и непрерывность k-й производной, равно как и законность переноса производной под знак математического ожидания мы доказывать не будем.

Упражнение 30. Доказать, что для с. в. со стандартным нормальным распределе-

2k def

нием момент четного порядка 2k равен = (2k 1)!! = (2k 1) (2k 3) : : : 3 1.

E

Доказать по определению, что все моменты нечетных порядков стандартного нормального распределения существуют и равны нулю.

Как только появились производные высших порядков, самое время разложить функцию в ряд Тейлора.

Ô6. Пусть существует момент порядка k = 1; 2; : : : случайной величины , то есть Ej jk < 1. Тогда ее характеристическая функция ' (t) в окрестности точки t = 0 разлагается в ряд Тейлора

Ряды Тейлора, как правило, возникают при предельном переходе. Следующее основное свойство характеристических функций потребуется нам для доказательства предельных теорем, и это свойство — последняя теорема, оставленная нами без доказательства.

Теорема 35 (Теорема о непрерывном соответствии). Случайные величины n слабо сходятся к с. в. тогда и только тогда, когда для любого t характеристические функции ' n (t) сходятся к характеристической функции ' (t).

Сформулированная теорема устанавливает непрерывное соответствие между классами hF ; ) i функций распределения со слабой сходимостью и h' ; !i характеристи- ческих функций со сходимостью в каждой точке. «Непрерывность» этого соответствия

— в том, что пределу в одном классе относительно заданной в этом классе сходимости соответствует предел в другом классе относительно сходимости, заданной в этом классе.

Осталось воспользоваться теоремой о непрерывном соответствии и доказать

ЗБЧ в форме Хинчина è ÖÏÒ.

88

15.3Доказательство ЗБЧ Хинчина

Пусть 1; 2; : : : — последовательность независимых и одинаково распределенных слу- чайных величин с конечным первым моментом Ej 1j < 1. Обозначим через a математи-

По свойству 19 сходимость по вероятности к постоянной эквивалентна слабой схо-

Вспомним, что первый момент 1 существует, поэтому свойство Ô6 позволяет разложить

' 1 (t) в ряд Тейлора в окрестности нуля ' 1 (t) = 1 + it E 1 + o(jtj) = 1 + ita + o(jtj). В точке t=n, соответственно,

15.4Доказательство центральной предельной теоремы

Пусть 1; 2; : : : — последовательность независимых и одинаково распределенных слу- чайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через a математиче- ское ожидание E 1 и через 2 — дисперсию D 1. Требуется доказать, что

левыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть Zn есть их сумма Zn = 1 + + n = (Sn na)= . Требуется доказать, что

89