Материал: Чернова Н.И. - Теория вероятностей - 1999

Замечание 24. Мы не только доказали сходимость, но и получили оценку для вероятности среднему арифметическому любого числа независимых и одинаково распреде-

Скоро мы докажем (иными методами, чем А. Я. Хинчин) следующее утверждение.

Теорема 30 (ЗБЧ в форме Хинчина).

Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных слу- чайных величин с конечным первым моментом E j 1j < 1 имеет место сходимость:

Более того, в условиях теоремы 30 имеет место «почти наверное» сходимость ( 1 + + n)=n ê E 1. Но этого мы уже доказывать не будем.

Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебыш¸ва закон больших чисел Я. Бернулли (1713). В отличие от доказанного через полтора столетия ЗБЧ Чебыш¸ва, описывающего предельное поведение среднего арифметического с. в. с произвольными распределениями, ЗБЧ Бернулли — утверждение только для схемы Бернулли.

Теорема 31 (ЗБЧ Бернулли).

Пусть A — событие, которое может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью P(A). Пусть n(A) — число осу-

любого " > 0

75

Доказательство. Заметим, что n(A) есть сумма независимых, одинаково распределенных с. в., имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха P(A) (индикаторов того, что в соответствующем испытании произошло A):

(

1; если A произошло в i м испытании;

0; если A не произошло в i м испытании;

E 1 = P(A); D 1 = P(A)(1 P(A)).

Осталось воспользоваться ЗБЧ в форме Чебыш¸ва и неравенством (24) из замечания

24.

Рассмотрим примеры использования ЗБЧ в форме Чебыш¸ва, вернее, неравенства (24).

13.4Примеры использования ЗБЧ и неравенства Чебыш¸ва

нице, если выпал герб и нулю иначе, или индикатору того, что выпал герб). Поскольку

чем в четверти случаев при 10 000 подбрасываниях монеты частота выпадения герба будет отличаться от 1/2 более чем на одну сотую. Мы увидим, насколько это грубая оценка, когда познакомимся с центральной предельной теоремой.

Пример 49.

З а д а ч а. Пусть 1; 2; : : : — последовательность случайных величин, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной C, а ковариации любых с. в. i èj (i 6= j), не являющихся соседними в последовательности, равны нулю. Удовлетворяет ли эта последовательность ЗБЧ?

Р е ш е н и е. Воспользуемся неравенством (23) и свойством 14:

76

так как для любого 1 6 i 6 n, по условию, D i 6 C. Èòàê,

nn 1

XX

при n ! 1, то есть последовательность 1; 2; : : : удовлетворяет ЗБЧ.

Упражнение 27.

Привести пример последовательности с. в. 1; 2; : : : такой, что ковариации «несоседних» величин равны нулю.

Привести пример последовательности с. в. 1; 2; : : : такой, что ковариации «несоседних» величин равны нулю, а ковариации соседних — не равны. Можно попробовать построить такую последовательность с помощью другой последовательности, составленной из независимых с. в.

77

... Из этой первой лекции по теории вероятностей я запомнил только полузнакомый термин «математическое ожидание». Незнакомец употреблял этот термин неоднократно, и каждый раз я представлял себе большое помещение, вроде зала ожидания, с кафельным полом, где сидят люди с портфелями и бюварами и, подбрасывая время от времени к потолку монетки и бутерброды, сосредоточенно чего-то ожидают. До сих пор я часто вижу это во сне. Но тут незнакомец оглушил меня звонким термином «предельная теорема Муавра — Лапласа» и сказал, что все это к делу не относится.

Аркадий и Борис Стругацкие, Стажеры

Раздел 14. ЦПТ (центральная предельная теорема)

Пусть, как в законе больших чисел в форме Чебыш¸ва, Sn = 1 + : : : + n — сумма n независимых и одинаково распределенных величин с конечной дисперсией. Тогда, в

Если при делении на n мы получили в пределе нуль (в смысле некоторой, все равно какой, сходимости), резонно задать себе вопрос: а не слишком ли на «много» мы поделили? Нельзя ли поделить на что-нибудь, растущее к бесконечности медленнее, чем n, чтобы получить в пределе не нуль (и не бесконечность, само собой)?

Можно поставить этот вопрос по-другому. Вот последовательность, стремящаяся (как-то) к нулю. Можно ли ее домножить на что-либо растущее, чтобы «погасить» это стремление к нулю? Получив, тем самым, что-нибудь конечное и отличное от нуля в

нулю. Распределение этой, зависящей от n, случайной величины становится все более похоже на нормальное распределение! Можно считать, что такая последовательность сходится к случайной величине, имеющей нормальное распределение, но сходится не по вероятности, а только в смысле сходимости распределений, или «слабой сходимости».

14.2Слабая сходимость

Пусть задана последовательность с. в. f ng, задано некоторое распределение F с функцией распределения F и — произвольная с. в., имеющая распределение F.

Определение 52. Говорят, что последовательность с. в. f ng ïðè n ! 1 сходится слабо èëè по распределению к с. в. , или говорят, что последовательность с. в.

слабо сходится к распределению F, или говорят, что распределения с. в. f ng слабо сходятся к распределению F, и пишут: n ) , èëè F n ) F , èëè n ) F, если для любого x такого, что функция распределения F непрерывна в точке x, имеет место сходимость F n (x) ! F (x) ïðè n ! 1.

Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

78

Необходимо заметить, что запись « n ) » удобна, но не всегда разумна: если «предельную» с. в. заменить на другую с. в. с тем же распределением, ничего не изменится: в том же смысле n ) . Поэтому слабая сходимость все же не есть сходимость случайных величин, и ей нельзя оперировать как сходимостями п.н. и по вероятности, для которых предельная с.в. единственна (хотя бы с точностью до значений на множестве нулевой вероятности).

Следующее свойство очевидно. Если нет - вам нужно вернуться к разделу 7 и вспомнить, что такое функция распределения.

Свойство 18. Åñëè n ) , и функция распределения F непрерывна в точках a è b, òî P( n 2 [a; b]) ! P( 2 [a; b]) и т.д. (продолжить ряд). Наоборот, если во всех точках a è b непрерывности функции распределения F имеет место, например, сходимость

P( n 2 [a; b]) ! P( 2 [a; b]), òî n ) .

Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.

Свойство 19.

Доказательство. Первое свойство мы доказывать не будем.

Докажем, что слабая сходимость к постояннной влечет сходимость по вероятности. Пусть

(

0; x 6 c;

F n (x) ! Fc(x) =

1; x > c

при любом x, являющемся точкой непрерывности предельной функции Fc(x), òî åñòü ïðè âñåõ x 6= c.

Возьмем произвольное " > 0 и докажем, что P(j n cj 6 ") ! 1. Раскроем модуль:

P( " 6 n c 6 ") = P(c " 6 n 6 c + ") >

(сужаем событие под знаком вероятности)

> P(c " 6 n < c + ") = F n (c + ") F n (c ") ! Fc(c + ") Fc(c ") = 1 0 = 1;

поскольку в точках c " функция Fc непрерывна, и, следовательно, имеет место сходимость последовательности F n (c ") ê Fc(c ").

Осталось заметить, что P(j n cj 6 ") не бывает больше 1, так что по лемме о двух милиционерах P(j n cj 6 ") ! 1.

Следующее свойство приводит пример операций, которые можно применять к слабо сходящимся последовательностям — скажем, домножать их на последовательности, сходящиеся по вероятности к постоянным величинам.

Желание написать «если n ) и n ) , то n + n ) + » сразу проходит, стоит перевести это «свойство» на язык функций распределения и задуматься — что такое «функция распределения суммы + », когда вместо них можно брать любые другие

~и с теми же распределениями, как угодно зависимые. Иное дело — когда одно из

~

предельных распределений вырождено. В этом случае функция распределения суммы или произведения определена однозначно.

Свойство 20.

p

1. Åñëè n ! c = const è n ) , òî n n ) c .

p

2. Åñëè n ! c = const è n ) , òî n + n ) c + .

Доказательство. Заметим прежде всего, что если n ) , òî c n ) c , c + n ) c + (доказать!). Поэтому (и в силу соответствующих свойств сходимости по вероятности)

79