Материал: Чернова Н.И. - Теория вероятностей - 1999

достаточно доказать первое утверждение свойства 20 при c = 1, а второе утверждение

— ïðè c = 0.

p

Докажем второе утверждение, оставив первое читателю. Пусть n ! 0 è n ) . Докажем, что n + n ) . Пусть x0 — точка непрерывности функции распределения F (x). Требуется доказать, что тогда имеет место сходимость F n+ n (x0) ! F (x0). Зафиксируем достаточно маленькое " > 0 такое, что F (x) непрерывна в точках x0 ".

F n+ n (x0) = P( n + n < x0) = P( n + n < x0; j nj > ") + P( n + n < x0; j nj 6 ") = P1 + P2:

Оценим P1 + P2 сверху и снизу. Для P1 имеем: 0 6 P1 = P( n + n < x0; j nj > ") 6 P(j nj > "); и последняя вероятность может быть выбором n сделана сколь угодно малой.

Äëÿ P2, с одной стороны,

P2 = P( n + n < x0; " 6 n 6 ") 6 P( " + n < x0) = P( n < x0 + "):

Здесь первое неравенство следует из очевидного соображения:

если " 6 n и n + n < x0, то, тем более, " + n < x0. С другой стороны,

P2 = P( n + n < x0; " 6 n 6 ") > P(" + n < x0; " 6 n 6 ") >

> P(" + n < x0) P(j nj > ") = P( n < x0 ") P(j nj > "):

Здесь первое неравенство объясняется включением f" + n < x0g \ f " 6 n 6 "g f n + n < x0g \ f " 6 n 6 "g — просто заменим в событии f" + n < x0g число " на n, òàê êàê n 6 ". Второе неравенство следует из свойств:

P(AB) 6 P(B); поэтому P(AB) = P(A) P(AB) > P(A) P(B):

Итак, мы получили оценки снизу и сверху для P1 + P2, òî åñòü äëÿ F n+ n (x0):

P( n < x0 ") P(j nj > ") 6 F n+ n (x0) 6 P(j nj > ") + P( n < x0 + ");

èëè

F n (x0 ") P(j nj > ") 6 F n+ n (x0) 6 P(j nj > ") + F n (x0 + "):

Устремляя n к бесконечности, и вспоминая, что x0 " — точки непрерывности функции распределения F , получим

F (x0 ") 6 limF n+ n (x0) 6 limF n+ n (x0) 6 F (x0 + "):

И поскольку эти неравенства верны для любого достаточно малого ", а x0 — точка непрерывности функции F , то, устремив " к нулю, получим, что нижний и верхний пределы F n+ n (x0) при n ! 1 совпадают и равны F (x0).

Несколько содержательных примеров слабой сходимости мы рассмотрим в следующей главе. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам

Ö Å Í Ò Ð À Ë Ü Í À ß Ï Ð Å Ä Å Ë Ü Í À ß Ò Å Î Ð Å Ì À

14.3Центральная предельная теорема

Мы будем называть следующее утверждение «ЦПТ А. М. Ляпунова» (1901), но сформулируем и докажем теорему Ляпунова только в частном случае — для последо-

80

вательности независимых и одинаково распределенных случайных величин.

Теорема 32 (ЦПТ).

Пусть 1; 2; : : : — независимые и одинаково распределенные случайные вели- чины с конечной и ненулевой дисперсией: 0 < D 1 < 1. Обозначим через Sn сумму первых n случайных величин: Sn = 1 +: : :+ n. Тогда последовательность

Sn n E 1

ñ. â. p слабо сходится к стандартному нормальному распределению. n D 1

Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения a; 2 (x) любого нормального закона непрерывна всюду на R (почему?), утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:

Следствие 19. Пусть 1; 2; : : : — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.

Для любых вещественных x < y ïðè n ! 1 имеет место сходимость

Для любых вещественных x < y ïðè n ! 1 имеет место сходимость

Для любых вещественных x < y ïðè n ! 1 имеет место сходимость

Если — произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то

Замечание 25. Еще раз напомним, что функция распределения стандартного нормального закона ищется либо по соответствующей таблице в справочнике, либо с помощью какого-либо программного обеспечения, но никак не путем нахождения первообразной.

Мы докажем ЦПТ и ЗБЧ в форме Хинчина несколькими главами позднее. Нам потребуется для этого познакомиться с мощным математическим инструментом, который в математике обычно называют «преобразованиями Фурье», а в теории вероятностей

— «характеристическими функциями».

14.4Предельная теорема Муавра — Лапласа

Получим в качестве следствия из ЦПТ предельную теорему Муавра — Лапласа (P. S. Laplace, 1812; A. de Moivre, 1730). Подобно ЗБЧ Бернулли, предельная теорема Муавра – Лапласа — утверждение только для схемы Бернулли.

81

Теорема 33 (Предельная теорема Муавра — Лапласа).

Пусть A — событие, которое может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью p = P(A). Пусть n(A) — число

Доказательство. По-прежнему n(A) есть сумма независимых, одинаково распределенных с. в., имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха p = P(A):

n(A) = 1 + + n; i = Ii(A) =

E 1 = P(A) = p; D 1 = P(A)(1 P(A)) = p(1 p):

Осталось воспользоваться ЦПТ.

14.5Примеры использования ЦПТ

Пример 50.

З а д а ч а из примера 48. Монета подбрасывается 10 000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую.

слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Рассмотрим произвольную с. в. , имеющую распределение N0;1.

1 P (j j 6 2) = 1 (1 2 0;1( 2)) = 2 0;1( 2) = 2 0:0228 = 0:0456:

Равенство P (j j 6 2) = 1 2 0;1( 2) следует из свойства 10.

82

Замечание 26. Центральной предельной теоремой пользуются для приближенного вычисления вероятностей, связанных с суммами большого числа независимых и одинаково распределенных величин. При этом распределение центрированной и нормированной суммы заменяют на стандартное нормальное распределение. Насколько велика ошибка при такой замене (погрешность приближения)?

Упражнение 28. Какие еще предельные теоремы для схемы Бернулли вы знаете? Что такое теорема Пуассона? Найти ее. Какова погрешность пуассоновского приближения? Вычислить ее. Объяснить, исходя из полученной величины, почему теорема Пуассона не применима в задаче из примера 50.

Âпримере 50 мы вычислили искомую вероятность тоже не точно, а приближенно

—взгляните на равенство « » и спросите себя: насколько мы ошиблись? Стоит ли доверять ответу «0.0456»? Что, если разница между вероятностями в приближенном равенстве « » превосходит ответ на порядок? Следующий результат позволяет оценить погрешность приближения в ЦПТ.

а) в общем случае C не превышает 0:7655 (И. С. Шиганов),

Б. А. Рогозин),

в) как показывают расчеты, можно смело брать в качестве C число 0:4 — даже для слагаемых с распределением Бернулли, особенно при малых n, когда и это значение постоянной оказывается слишком грубой оценкой.

Подробный обзор можно найти в монографии В. М. Золотарева «Современная теория суммирования независимых случайных величин», стр. 264–291.

Продолжение примера 50. Проверьте, что для с. в. 1 с распределением Бернулли

E j 1 E 1j3 = j0 pj3 P( 1 = 0) + j1 pj3 P( 1 = 1) = p3q + q3p = pq(p2 + q2):

Поэтому разница между левой и правой частями приближенного равенства « » в при-

сравнить этот ответ с оценкой, полученной с помощью ЗБЧ в примере 48.

83