Материал: Чернова Н.И. - Теория вероятностей - 1999

1

S

Очевидно, что An = [0; 2 ]. Предположим, что лебегова мера («длина») множе-

n= 1

ñòâà A0 существует. Заметим, что тогда все множества An имеют ту же лебегову меру, так как получены из A0 поворотом. И так как все эти множества не пересекаются, то мера их объединения равна сумме их мер:

Полученное противоречие означает, что лебегова мера, или длина множества A0 не существует.

Упражнение: какими свойствами «длины» (или меры Лебега) мы воспользовались в этом примере?

20

Раздел 4. Условная вероятность, независимость

4.1Условная вероятность

Пример 15. Кубик подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трех оч- ков. Какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?

В данном случае пространство элементарных исходов состоит из трех равновозможных элементарных исходов: = f4; 5; 6g, и событию A = fвыпало четное число очковg благоприятствуют 2 из них: A = f4; 6g. Поэтому P(A) = 2=3.

Посмотрим на этот вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек: = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Слова «известно, что выпало более трех очков» означают, что в эксперименте произошло событие B = f4; 5; 6g. Слова «какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?» означают, что нас интересует, в какой доле случаев при осуществлении B происходит и A. Вероятность события A, вычисленную в предположении, что нечто о результате эксперимента уже известно (событие B

произошло), мы будем обозначать через P(A B).

Мы хотим вычислить отношение числа исходов, благоприятствующих A внутри B (то есть благоприятствующих одновременно A и B), к числу исходов, благоприятствующих B.

Определение 15. Условной вероятностью события A, при условии, что произошло событие B, называется число

Следующее свойство называется "теоремой умножения":

Теорема 6. P(A \ B) = P(B)P(A B) = P(A)P(B A), если соответствующие условные вероятности определены (òî åñòü åñëè P(B) > 0, P(A) > 0).

Теорема умножения для большего числа событий:

если соответствующие условные вероятности определены.

Доказать теорему 7 методом математической индукции.

4.2Независимость

Определение 16. События A и B называются независимыми, åñëè

P(A \ B) = P(A)P(B):

21

Пример 16.

1. Точка с координатами ; бросается наудачу в квадрат со стороной 1. Доказать, что для любых x; y 2 R события A = f < xg и B = f < yg независимы.

2. Точка с координатами ; бросается наудачу в треугольник с вершинами (1,0), (0,0) и (0,1). Доказать, что события A = f < 1=2g и B = f < 1=2g зависимы.

÷òî P(A) = 3=4, P(B) = 3=4, P(A \ B) = 1=2 6= (3=4)2, так что события A = f < 1=2g и

B = f < 1=2g зависимы.

Доказать, что при x 62[0; 1] или y 62[0; 1] события A = f < xg и B = f < yg независимы.

Замечание 7. Если события A и B несовместны, то они независимы, если и только если P(A) = 0 или P(B) = 0.

A è B, A è B.

S

Доказательство. Так как A = A\B A\B, и события A\B и A\B несовместны, то P(A) = P(A\B) + P(A\B). Поэтому P(A\B) = P(A) P(A\B) = P(A) P(A)P(B) =

P(A)(1 P(B)) = P(A)P(B).

Вывести отсюда все остальные утверждения.

Определение 17. События A1; : : : ; An называются независимыми в совокупности, если для любого набора 1 6 i1; : : : ; ik 6 n

Замечание 8. Если события A1; : : : ; An независимы в совокупности, то они попарно независимы, то есть любые два события Ai; Aj независимы. Достаточно в равенстве (6) взять k = 2. Обратное, как показывает следующий пример, неверно.

Пример 17 (Пример С. Н. Бернштейна).

Рассмотрим правильный тетраэдр, 3 грани которого окрашены, соответственно, в красный, синий, зеленый цвета, а четвертая грань содержит все три цвета. Событие A (B, C) означает, что выпала грань, содержащая красный (синий, зеленый) цвета.

Вероятность каждого из этих событий равна 1/2, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырех. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, так как

22

только одна грань содержит два цвета. А так как 1=4 = 1=2 1=2, то все события попарно независимы.

Но вероятность пересечения всех трех тоже равна 1/4, а не 1/8, то есть события не являются независимыми в совокупности.

Заметьте, что равенство (6) выполнено для k = 2, но не выполнено для k = 3.

4.3Формула полной вероятности

Пример 18. Есть 3 завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом 1-й завод производит 25%, 2-й завод — 35% и 3-й завод — 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции 1-го завода, 3% от продукции 2-го и 4% от продукции 3-го завода.

Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти а) вероятность купить бракованное изделие; б) условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено 1-м заводом, если это изделие бракованное.

Первая вероятность равна доле бракованных изделий в объеме всей продукции, то есть 0:05 0:25+0:03 0:35+0:04 0:4. Вторая вероятность равна доле брака 1-го завода среди всего брака, то есть

События H1; H2; : : : , образующие полную группу событий, часто называют гипотезами. При подходящем выборе гипотез для произвольного события A могут быть сравни-

тельно просто вычислены P(A Hi) (вероятность событию A произойти при выполнении «гипотезы» Hi) и собственно P(Hi) (вероятность выполнения «гипотезы» Hi). Как, используя эти данные, посчитать вероятность события A?

Теорема 8 (Формула полной вероятности).

Пусть H1; H2; : : : — полная группа событий. Тогда вероятность любого события A может быть вычислена по формуле:

A \ H1; A \ H2; : : : попарно несовместны. Поэтому (используем в первом равенстве - аддитивность вероятностной меры (а что это? ), а во втором — теорему умножения)

11

XX

23

4.4Формула Байеса

Теорема 9 (Формула Байеса).

Пусть H1; H2; : : : — полная группа событий и A — некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Hk, если в результате эксперимента наблюдалось событие A, может быть вычислена по формуле:

Пример 19. Вернемся к примеру 18. Изделие выбирается наудачу из всей произведенной продукции. Рассмотрим три гипотезы: Hi = fизделие изготовлено i-ì заводомg, i = 1; 2; 3. Вероятности этих событий даны: P(H1) = 0:25, P(H2) = 0:35, P(H3) = 0:4. Пусть

A = fизделие оказалось бракованнымg. Даны также условные вероятности P (A H1) =

0:05, P (A H2) = 0:03, P (A H3) = 0:04.

Убедиться, что полученные нами вероятности в (а) и (б) совпадают с вероятностями, вычисленными по формуле полной вероятности и формуле Байеса.

Пример 20. Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0.00001. Можно сделать два предположения об эксперименте: H1 = fстреляет 1-é стрелокg и H2 = fстреляет 2-é стрелокg. Априорные (a’priori — «до опыта») вероятности этих гипотез одинаковы: P(H1) = P(H2) = 1=2.

Рассмотрим событие A = fпуля попала в мишеньg. Известно, что

P(A H1) = 1; P(A H2) = 0:00001:

Поэтому вероятность пуле попасть в мишень P(A) = 1=2 1 + 1=2 0:00001. Предположим, что событие A произошло. Какова теперь апостериорная (a’posteriori — «после опы-

24