Материал: Чернова Н.И. - Теория вероятностей - 1999

5.6Теорема Пуассона для схемы Бернулли

Предположим, нам нужна вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0.003. Вероятность этого события равна любому из следующих выражений:

и вычисление даже одного слагаемого в каждом из этих выражений весьма проблематично.

Сформулируем теорему о приближенном вычислении вероятности какого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли с маленькой вероятностью успеха. Термин «большое число» должен означать n ! 1. Если при этом p = pn 6!0, то, очевидно, вероятность получить любое конечное число успехов при растущем числе испытаний стремится к нулю. Необходимо чтобы вероятность успеха p = pn ! 0 одновременно с ростом числа испытаний. Но от испытания к испытанию вероятность успеха меняться не может (см. определение схемы Бернулли).

Поэтому рассмотрим «схему серий»: есть

Вероятность успеха меняется не внутри одной серии испытаний, а от серии к серии, когда меняется общее число испытаний. Обозначим через n число успехов в n-й серии испытаний.

Теорема 16 (Теорема Пуассона).

Пусть n ! 1, pn ! 0 òàê, ÷òî npn ! > 0. Тогда для любого k > 0 вероятность полу- чить k успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха pn стремится

к величине k e : k!

Для доказательства теоремы осталось в формуле (8) воспользоваться свойством 5.

30

Определение 23. Пусть > 0 — некоторая постоянная. Набор чисел

называется распределением Пуассона с параметром .

Пользуясь теоремой 16, можно приближенно посчитать вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0.003, с вычисления которой мы начали. Поскольку n = 1000 «велико», а pn = 0:003 «ìàëî», òî, âçÿâ = npn = 3, можно написать приближенное равенство

Осталось решить, а достаточно ли n = 103 «велико», а pn = 0:003 «мало», чтобы заме-

нить точную вероятность P( n = k) на приближенное значение k e . Для этого нужно уметь оценивать разницу между этими двумя вероятностями. k!

Следующую очень полезную теорему мы докажем в конце курса.

Теорема 17 (Теорема Пуассона с оценкой погрешности).

Пусть A f0; 1; 2; : : : ; ng — произвольное множество целых неотрицательных чисел, n — число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p, = n p. Тогда

Таким образом, теорема 17 предоставляет нам возможность самим решать, достаточно ли n «велико», а p «мало», руководствуясь полученной величиной погрешности. Какова же погрешность в формуле (9)?

Погрешность не более 0,009 (при вероятности около 0,001 :-) ). Во всяком случае, можно утверждать, что искомая вероятность никак не больше, чем 0,01=0,001+0,009.

31

Раздел 6. Случайные величины и их распределения

6.1Случайные величины

Мы уже видели, что для очень многих экспериментов нет никаких различий в под- счете вероятностей событий, тогда как элементарные исходы в этих экспериментах очень различаются. Но нас и должны интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов. Поэтому пора во всех таких «похожих» экспериментах вместо самых разных элементарных исходов использовать, например, числа. То есть ввести соответствие (иначе говоря, отображение) между элементарными исходами и вещественными числами (с ними удобно работать).

Пусть имеется случайный эксперимент и задано вероятностное пространство h ; F; Pi.

Определение 24. Функция : ! R называется случайной величиной, если для любого x 2 R множество f < xg = f! : (!) < xg является событием, то есть принадлежит-алгебре событий F.

Замечание 9. Читатель, не желающий забивать себе голову абстракциями, связанными с -алгебрами событий и с измеримостью, может смело считать, что любое множество элементарных исходов есть событие, и, следовательно, случайная величина есть произвольная функция из в R. Никаких неприятностей на практике это обычно не влечет, так что все дальнейшее в этом параграфе можно пропустить. Полезно, тем не менее, помнить: каждая такая «уступка» себе существенно снижает ваши адаптивные способности к жизни.

Определение 25. Будем говорить, что функция : ! R является F-измеримой, если f! : (!) < xg принадлежит F для любого x 2 R.

Итак, случайная величина есть F-измеримая функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу ! 2 число (!) 2 R.

Пример 23. Подбрасываем 1 раз кубик. Пусть = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, и две функции из

в R заданы так: (!) = !, (!) = !2.

Если F есть множество всех подмножеств , то и являются случайными вели- чинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит F, в том числе и f! : (!) < xg или f! : (!) < xg. Можно записать соответствие между значениями случайных величин и и вероятностями принимать эти значения в виде «таблицы распределения вероятностей» или, коротко, «таблицы распределения»:

Здесь 16 = P( = 1) = : : : = P( = 6) = P( = 1) = : : : = P( = 36).

Пусть -алгебра событий F состоит всего из четырех множеств:

F = ; ?; f1; 3; 5g; f2; 4; 6g ;

то есть событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение четного (соответственно, нечетного) числа очков. Убедимся, что при такой «бедной» -алгебре ни , ни не являются случайными величинами, так как эти функции не F-измеримы. Возьмем (например) x = 3;967. Видим, что f! 2 : (!) < 3;967g = f1; 2; 3g 62F и f! 2 : (!) < 3;967g = f1g 62F.

Упражнение. Описать класс всех функций, измеримых относительно -алгебры

F = ; ?; f1; 3; 5g; f2; 4; 6g .

32

Пусть -алгебра событий F есть тривиальная -алгебра : F = f ; ?g.

Доказать, что и не являются случайными величинами, так как эти функции не F-измеримы.

Доказать, что измеримы относительно тривиальной -алгебры только функции вида(!) = c (постоянные).

Теперь попробуем понять, зачем нужна F-измеримость и почему требуется, чтобы f! : (!) < xg являлось событием.

Если задана случайная величина , нам может потребоваться вычислить вероятности типа P( = 5) = Pf! : (!) = 5g, P( 2 [ 3; 7]), P( > 3;2), P( < 0) (и вообще самые разные вероятности попадания в различные множества на прямой). Это возможно только если множества, стоящие под знаком вероятности, являются событиями (напомню, что вероятность есть функция из -алгебры событий в [0,1]).

Но если потребовать, чтобы Ax = f! : (!) < xg было событием при любом x, то мы

и т.д., и т.п. (операции пересечения, объединения, дополнения событий не выводят из класса событий).

Можно потребовать в определении 24 чего-нибудь другого. Например, чтобы событием было попадание в любой интервал: f! : (!) 2 (a; b)g 2 F для любых a < b. Или чтобы f! : (!) > xg было событием для любого x. Любое такое определение эквивалентно исходному.

Замечание 10. Те, кто не поленился прочесть про борелевскую -алгебру в разделе 3.3, могут сформулировать все наши потребности так: мы хотим, чтобы попадание в любое борелевское множество являлось событием. Мы могли это потребовать в определении, но ограничились эквивалентным условием, чтобы попадание в любой открытый интервал ( 1; x) было событием. Эти условия эквивалентны, поскольку борелевская-алгебра порождается интервалами, что мы еще раз показали в формулах (10).

Опишем различные типы распределений случайных величин. Под распределением случайной величины мы будем понимать соответствие

«значение случайной величины $ вероятность принимать это значе-

íèå»,

ëèáî (÷àùå)

«множество на прямой $ вероятность случайной величине попасть в это множество».

6.2Дискретные распределения

Определение 26. Говорят, что случайная величина имеет дискретное распределение, если существует конечный или счетный набор чисел fa1; a2; : : : g такой, что:

То есть случайная величина имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений.

Определение 27. Если случайная величина имеет дискретное распределение, назовем таблицей распределения соответствие ai $ pi, которое чаще всего рисуют так:

33