Материал: Чернова Н.И. - Теория вероятностей - 1999

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Свойство 6. Случайная величина имеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения F — ступенчатая функция. При этом возможные значения — точки ai скачков F , è pi = P( = ai) = F (ai+0) F (ai) — величины скачков.

Упражнение. Доказать, что любая функция распределения имеет не более чем счет-

ное число точек разрыва (или «скачков»). Указание. Сколько скачков величиной более 1/2 может иметь функция распределения? А величиной более 1/3? Более 1/4?

В следующей главе мы рассмотрим случайные величины, функции распределения которых не удовлетворяют свойству 6 хотя бы потому, что они вовсе не имеют разрывов. Более того, мы выделим класс функций распределения, которые «восстанавливаются по своей производной» с помощью интегрирования (так называемые абсолютно непрерывные функции).

Раздел 8. Абсолютно непрерывные распределения

Определение 29.

Случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f (x) такая, что для любого x 2 R функция распределения F (x) представима в виде

	x		При этом функция f (x) называется плотностью рас-
F (x) =	Z	f (t) dt:	При этом функция f (x) называется плотностью рас-
F (x) =	Z	f (t) dt:	пределения случайной величины .
	1

Теорема 20.

Плотность распределения обладает свойствами:

	1
(f1) f (x) > 0 для любого x; (f2)	R1 f (t) dt = 1.

Доказательство. (f1) выполнено по определению плотности. Докажем (f2).

def	lim	f (t) dt = lim F (x) = 1 по свойству (F2) функций распределения.
f (t) dt =
1	x!1	x!1
	1

Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:

Лемма 3. Если функция f обладает свойствами (f1) è (f2), то существует вероятностное пространство и случайная величина на нем, для которой f является плотностью распределения.

Доказательство. Пусть есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком функции f («подграфик» функции f). Площадь области равна 1 по свойству (f2). И пусть случайная величина есть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область. Тогда (вспомнить геометрическую вероятность) для любого x 2 R

F (x) = P( < x) = P(точка попала в область Dx) =	площадь x	x	f(t) dt;
F (x) = P( < x) = P(точка попала в область Dx) =	площадь x	= Z	f(t) dt;
	площадь D
		1

то есть f является плотностью распределения случайной величины .

Свойства плотностей

(f3) Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения всюду непрерывна.

Доказательство. Этот факт следует из представления F (x) = f (t) dt и непрерыв-

ности интеграла как функции верхнего предела.

функция распределения дифференцируема почти всюду, и f (x) = F 0(x) = для почти всех x.

Следствие 5. Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то P( = x) = 0 для любого x 2 R.

(f4) Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее

dxF (x)

Замечание 15. Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме (возможно) x из некоторого множества нулевой меры (длины)». Заметьте, что стоящую под интегралом функцию можно изменить в одной точке (или на множестве нулевой длины), и интеграл («площадь подграфика») от этого не изменится.

(f5) Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то

P(a < < b) = P(a 6 < b) = P(a < 6 b) = P(a 6 6 b) = Za				b
P(a < < b) = P(a 6 < b) = P(a < 6 b) = P(a 6 6 b) = Za				f (t) dt:
Доказательство. Действительно,
	b	a
P(a 6 < b) = F (b) F (a) =	Z	f (t) dt Z	f (t) dt:
	1	1

Остальные равенства вытекают из следствия 5.

8.1Примеры абсолютно непрерывных распределений

Равномерное. Это распределение нам уже знакомо. Говорят, что имеет равномерное

распределение на отрезке [a; b], и пишут = Ua;b, åñëè

F (x) = P( < x) =

8x a

; a x b

f (x) =

; a x b

x < a;

> b a

6 6

>b a

6 6

x > b;

x > b:

>1;

>0;

Заметьте, что в точках

недифференцируема, и плот-

è: функция распределения

ность можно задать как угодно.

Показательное. Говорят, что имеет показательное распределение с параметром ,

> 0 и пишут = E , если		( e x; x > 0:
(1 e x; x > 0;		( e x; x > 0:
0;	x < 0;	0;	x < 0;
F (x) = P( < x) =		f (x) =

Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство «нестарения» (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).

Теорема 21. Свойство «нестарения».	Пусть = E . Тогда для любых x; y > 0
P( > x + y	> x) = P( > y):
Упражнение 10. Доказать «свойство	нестарения».

Упражнение 11. Доказать, что если неотрицательная случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение и обладает свойством «нестарения», то есть для любых x; y > 0

P( > x + y > x) = P( > y);

то она имеет показательное распределение с некоторым параметром .

Нормальное. Говорят, что имеет нормальное распределение с параметрами a и 2, где a 2 R, > 0, и пишут = Na; 2 , если имеет следующую плотность распределения:

Убедимся, что f (x) действительно является плотностью распределения. Так как f (x) > 0 для всех x 2 R, то свойство (f1) выполнено. Проверим выполнение (f2). Используем табличный интеграл (интеграл Пуассона)

1
Z	e x2=2 dx = p2 :

Этот интеграл вычисляется так:	R	R	R R
Этот интеграл вычисляется так:	1 e x2=2 dx	1 e y2=2 dy =	1 1 e (x2+y2)=2 dx dy =
	1	1	1 1

(цилиндрическая замена переменных x = r cos , y = r sin ,

2 1

R R re r2=2

0 0

f (x) dx =

dr d =

2 1e r2

=2 d(r2=2) d = 2 .

p2 e

a)2

замена переменных

dx = " t = x a

, dx = dt

= Z

dt =

dx dy = r dr d ) =

e t2=2 dt = 1:

Нормальное (иначе называемое гауссовским по имени Карла Гаусса, см. график плотности на купюре 10 DM) распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей, поэтому мы очень подробно изучим все свойства этого распределения.

8.2Свойства нормального распределения

Нормальное распределение задается, как мы видим, с помощью плотности распределения. Связано это с тем, что нельзя выписать первообразную от функции e x2 иначе как в виде интеграла, поэтому функцию распределения этого закона можно записать лишь в таком виде:

x			2
F (x) = a; 2 (x) = Z	p2 e	(t a2)		dt:
F (x) = a; 2 (x) = Z	p2 e	2		dt:
	1	2
1

Мы часто будем использовать обозначение a; 2 (x) для функции распределения нормального распределения с параметрами a и 2.

Исключительно полезно нарисовать график плотности и функции распределения (отметив точки экстремума, перегибов, посчитав значение в точке максимума плотности и расстояние между точками перегибов). График плотности и функции распределения нормального распределения можно также посмотреть здесь: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/PlotDist.html.

Стандартное нормальное распределение

Нормальное распределение Na; 2 ïðè a = 0 è 2 = 1 называется стандартным нор-

мальным распределением.

Плотность стандартного нормального распределения име-

åò âèä f (x) =

2 R, а функция распределения 0;1(x) =

e x

при любом x

e t =2 dt табулирована (то есть ее значения вычислены при многих x) почти

во всех математических справочниках. Установим связь между a; 2 è 0;1.

Свойство 7.

Для любого x

2 R

справедливо соотношение

2 (x) =

x a

0;1

Доказательство.

замена переменных

x a

(t a)

2 y =

y2=2

2 (x) =

2 2

dt =

, dt = dy

dy =

6 t = x

y = x a

x a

0;1

То же самое на языке случайных величин можно сформулировать так:

Следствие 6.

Åñëè = N

2 ,

òî

= N

0;1

Доказательство.

(x) = P( < x) = P

< x = P( < x + a) =

2 ( x + a) =

= 0;1

x + a a

= 0;1(x):

Следствие 7.

Åñëè = Na; 2 ,

òî

0;1

P(x

< < x

) =

)

) =

x2 a

x1 a

0;1

Как мы видим, вычисление любых вероятностей для нормально распределенной слу- чайной величины сводится к вычислению функции распределения 0;1. Ее свойства (нарисовать их на графике плотности стандартного нормального распределения!!):

Свойство 8.	0;1	(0) = 0:5.
Свойство 9.	0;1	( x) = 1 0;1(x).

для любого x 2 R:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия