Материал: Чернова Н.И. - Теория вероятностей - 1999

Раздел 5. Схема Бернулли

5.1Распределение числа успехов в n испытаниях

Определение 19. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью p 2 [0; 1], «неудача» — с вероятностью q = 1 p.

Теорема 10 (Формула Бернулли).

Обозначим через n число успехов в n испытаниях схемы Бернулли. Тогда для любого k = 0; 1; : : : ; n

P( n = k) = Cnk pk (1 p)n k = Cnk pk qn k:

Доказательство. Событие A = f n = kg означает, что в n испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию A элементарных исходов: (ó, ó, : : : , ó , í, : : : , í). Здесь буквами «ó» è «í» обозначены,

| {z }

| {z }

kn k

соответственно, успешный и неудачный результаты испытаний. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна pk (1 p)n k.

Другие благоприятствующие событию A элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением k успехов на n местах. Есть ровно Cnk способов расположить k успехов на n местах. Поэтому событие A состоит из Cnk элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна pk (1 p)n k.

Определение 20. Набор чисел Cnk pk (1 p)n k; k = 0; 1; : : : ; n называется биномиальным распределением вероятностей и обозначается Bn;p èëè B(n; p).

5.2Наиболее вероятное число успехов

По формуле Бернулли, событие «произошло 0 успехов в n испытаниях» имеет вероятность qn, 1 успех — вероятность n p qn 1 и т.д. Какое же число успехов наиболее вероятно? Иначе говоря, при каком k достигается максимум P( n = k)?

Чтобы выяснить это, сравним отношение P( n = k) è P( n = k 1) с единицей.

Видим, что

(a)P( n = k) > P( n = k 1) ïðè np + p k > 0, òî åñòü ïðè k < np + p;

(b)P( n = k) < P( n = k 1) ïðè np + p k < 0, òî åñòü ïðè k > np + p;

(c)P( n = k) = P( n = k 1) при np + p k = 0, что возможно лишь если np + p — целое число.

25

Рассмотрим два случая: np + p 2 Z и np + p 62Z. В первом случае пусть k0 = np + p. Из полученных выше неравенств сразу следует, что

Во втором случае пусть k0 = [np + p] (целая часть числа np + p, то есть наибольшее целое число, не превосходящее np + p). Из неравенств (a),(b) следует, что

Действительно, неравенство P( n = k0) > P( n = k0 + 1), например, следует из (b), примененного для k = k0 + 1 > np + p.

Видим, что в зависимости от того, является число np+p целым или нет, имеется либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов k0 = np+p è k0 1 = np+p 1, либо одно «наиболее вероятное» число успехов k0 = [np + p].

Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.

Теорема 11. Â n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятным числом успехов является

a)единственное число k0 = [np + p], если число np + p не целое;

б) два числа k0 = np + p è k0 1 = np + p 1, если число np + p целое.

Упражнение 5. Рассмотреть график вероятностей биномиального распределения и увидеть утверждение теоремы на графике.

Например, для n = 30 и p = 0:2 вероятности нарисованы слева.

Пример 21. Если p = q = 1=2, то при четном числе испытаний n число np + p = n=2 + 1=2 62Z — не целое, так что наиболее вероятным является единственное число успехов [n=2+1=2] = n=2. Что совершенно понятно, так как есть нечетное число возможностей — получить 0; 1; : : : ; n успехов, причем вероятности получить k и n k успехов одинаковы.

При нечетном же числе испытаний n число np + p = n=2 + 1=2 2 Z — целое, так что наиболее вероятными (и одинаково вероятными) являются два числа успехов n=2 + 1=2

è n=2 1=2.

5.3Номер первого успешного испытания

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха p в одном испытании. Испытания проводятся до появления первого успеха. Введем величину , принимающую значения из f1; 2; 3; : : : g, равную номеру первого успешного испытания.

26

Теорема 12. Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером k 2 N = f1; 2; 3; : : : g, равна P( = k) = p qk 1.

Доказательство. Действительно, P( = k) = P(í, í, : : : , í; ó) = p qk 1.

| {z }

k 1

Определение 21. Набор чисел fp qk 1; k = 1; 2; 3; : : : g называется геометрическим распределением вероятностей и обозначается Gp èëè G(p).

Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством «нестарения». Пусть величина обозначает, скажем, время безотказной работы (измеряемое целым числом часов) некоторого устройства. Предположим, что для величины вероятность принять любое свое значение k в точ- ности равна p qk 1. Справедливо следующее утверждение.

ство уже проработало без отказа n часов, то вероятность ему работать еще не менее k часов точно такая же, как вероятность проработать не менее k часов для нового устройства.

Можно прочесть эту формулу и так: вероятность работающему устройству проработать еще сколько-то часов не зависит от того момента, когда мы начали отсчет

Можно также заметить, что событие f > mg означает, что в схеме Бернулли первые m испытаний завершились «неудачами», а это событие имеет вероятность как раз qm.

Возвращаясь к (7), получим

5.4 Приближение гипергеометрического распределения биномиальным

Рассмотрим урну, содержащую N шаров, из которых K шаров — белые, а оставшиеся N K шаров — черные. Из урны наудачу (без возвращения) выбираются n шаров. Вероятность PN;K(n; k) того, что будет выбрано ровно k белых и n k черных шаров, находится по формуле (см. определение 8 гипергеометрического распределения вероятностей):

27

Если число шаров в урне очень велико, то извлечение одного, двух, трех шаров почти не меняет пропорцию белых и черных шаров в урне, так что вероятности PN;K(n; k) не очень отличаются от вероятностей в процедуре выбора с возвращением:

P(получить ровно k белых шаров при выборе n шаров с возвращением) =

Доказательство. Нам понадобятся следующие определение и свойство.

Определение 22. Говорят, что последовательности an è bn асимптотически эквивалентны, и пишут an bn, åñëè

an ! 1 ïðè n ! 1. bn

Свойство 4. Следующие последовательности асимптотически эквивалентны:

Доказательство. Действительно, рассмотрим отношение членов этих последователь-

поскольку предел произведения конечного числа k последовательностей, сходящихся к 1, равен 1.

Мы получили, что PN;K(n; k) асимптотически эквивалентно выражению, сходящему-

Упражнение 7. Доказать свойство 5.

По свойству 5, при N ! 1 и K ! 1 так, что K=N ! p 2 (0; 1), существует lim PN;K(n; k) = Cnk pk (1 p)n k.

28

5.5Независимые испытания с несколькими исходами

Рассмотрим следующий пример, когда из двух очень похожих вопросов на один можно ответить, пользуясь формулой Бернулли, а для другого этой формулы оказывается недостаточно:

Пример 22. Игральная кость подбрасывается 15 раз. Найти вероятности следующих событий:

а) выпадет ровно 10 шестерок; б) выпадет ровно 10 шестерок и три единицы.

Р е ш е н и е:

а) есть 15 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 1/6 (выпадение ше-

падение единицы, выпадение остальных граней. Воспользоваться формулой для числа успехов в схеме Бернулли не удается — перед нами уже не схема Бернулли.

Осталось изобрести формулу для подсчета вероятности каждому исходу в нескольких независимых испытаниях выпасть нужное число раз, если в одном испытании возможно не два, а более исходов.

Пусть в одном испытании возможны m исходов. Обозначим их цифрами 1; 2; : : : ; m.

Доказательство. Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению n1 единиц, n2 двоек, : : : , nm ðàç m-îê:

(1; : : : ; 1; 2; : : : ; 2; : : : ; m; : : : ; m):

Это результат n экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором зара-

нее заданом порядке. Вероятность такого результата n независимых испытаний равна pn11 : : : pnmm .

Все остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел 1; 2; : : : ; m на n местах. Число таких исходов равно числу способов расставить на n местах n1 единиц, n2 двоек, : : : , nm чисел m, то есть

Теперь мы можем вернуться к примеру 22(б) и выписать ответ: так как вероятности выпадения шестерки и единицы равны 1/6, а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна 4/6, то вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и еще 2 других очка равна

29