Материал: Чернова Н.И. - Теория вероятностей - 1999

Раздел 2. Геометрическая вероятность

вероятность попадания точки в любую часть A не зависит от формы или расположения A внутри , а зависит лишь от «меры» области A (если A измеримо, см. замечание 6).

Определение 9. Эксперимент удовлетворяет условиям «геометрического определения вероятности», если его исходы можно изобразить точками некоторой области в Rm так, что вероятность попадания точки в любую часть A не зависит от формы или расположения A внутри , а зависит лишь от меры области A (и, следовательно,

«Мерой» мы пока будем называть длину, площадь, объем и т.д.

Если для точки, брошенной в область , выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, что точка равномерно распределена в области .

Пример 7. Точка наудачу бросается на отрезок [0,1]. Вероятность точке попасть в точку f0:5g равна нулю, так как мера множества, состоящего из одной точки («длина точки»), есть 0. Вместе с тем попадание в точку f0:5g не является невозможным событием — это один из элементарных исходов эксперимента.

2.2Задача о встрече

Пример 8. Два лица X и Y условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течении 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Р е ш е н и е. Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть («кси») и («эта»)´ — моменты прихода X и Y (точки отрезка [0,1]). Все возможные результаты эксперимента — множество точек квадрата со стороной 1:

= f( ; ) : 0 6 6 1; 0 6 6 1g = [0; 1] [0; 1].

2.3Задача Бюффона

Пример 9. На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу брошена игла длины 2l < 2a. Какова

10

вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

Р е ш е н и е. Поймем, что означает здесь «наудачу брошена игла». Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого-либо направления. Причем две эти переменные (положение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга.

2.4Парадокс Бертрана

Пример 10 ( Josef Bertrand, “Calcul des Probabilites", 1888).

В круге единичного радиуса наудачу выбирается хорда. Какова вероятность того, что ее длина будет больше, чем длина стороны вписанного в круг правильного треугольника?

«Р е ш е н и е». Есть по крайней мере три способа «выбрать наудачу хорду в круге».

бирать наудачу хорду, бросая наудачу точку (середину

1Кроме того случая, когда брошенная наудачу точка попадет в центр круга. Но поскольку вероятность этого события равна нулю, то учет или неучет такого события не влияет на итоговую вероятность

11

2.

Âчем причина разницы в ответах на, казалось бы, один и тот же вопрос? На самом деле формулировка задачи не корректна с математической точки зрения. «Выбор наудачу хорды в круге» может быть по-разному описан с помощью геометрического определения вероятности (что мы и сделали). То есть этот «эксперимент» можно поразному описать с помощью выбора наудачу точки в некоторой области.

Слово «эксперимент» взято в кавычки не напрасно: сказав «в круге наудачу выбирается хорда», мы еще не описали физического эксперимента. Действительно, каждому из трех предложенных способов выбора хорд можно сопоставить конкретный физиче- ский эксперимент (всякий раз другой).

Так что парадокс исчезает сразу, как только получен ответ на вопрос: что значит «в круге наудачу выбирается хорда»?

Заканчивая обсуждение понятия геометрической вероятности, сделаем очень важное для дальнейшего замечание.

Замечание 6. Если даже эксперимент удовлетворяет геометрическому определению вероятности, далеко не для всех множеств A вероятность может быть вычислена как отношение меры A к мере . Причиной этого является существование так называемых «неизмеримых» множеств, то есть множеств, мера которых не существует.

А если не для всех подмножеств мы можем определить их вероятности, следует сузить класс множеств, называемых «событиями», оставив в этом классе только те множества, для которых мы можем определить вероятность.

В следующей главе мы займемся построением (вслед за Андреем Николаевичем Колмогоровым) аксиоматики теории вероятностей: познакомимся с понятиями -алгебры (или поля) событий, вероятностной меры, вероятностного пространства, а также докажем сформулированные в параграфе 1.2 свойства вероятности.

12

Раздел 3. Аксиоматика теории вероятностей

3.1-алгебра событий

Пусть — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (то есть, вообще говоря, множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств , которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.

То есть событиями мы будем называть не любые подмножества , а лишь подмножества из некоторого «множества подмножеств» F. При этом необходимо позаботиться, чтобы это множество F подмножеств было «замкнуто» относительно введенных в

параграфе 1.2 операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (то есть элементов F) снова давало событие (то есть элемент F).

Определение 10. Множество F, состоящее из подмножеств множества (не обязательно всех!) называется -алгеброй событий, èëè -алгеброй подмножеств , если выполнены следующие условия:

i=1

набором событий -алгебра содержит их объединение).

Условия (A1)–(A3) часто называют «аксиомами -алгебры».

Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества F относительно других операций над событиями.

Вместо первой аксиомы достаточно предположить, что F не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент.

Доказательство. Ïî (A1), 2 F, íî ? = n = 2 F â ñèëó (A2).

Свойство 2. При выполнении (A1),(A2) свойство (A3) эквивалентно свойству (A4)

i=1

набором событий -алгебра содержит их пересечение).

Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1),(A2) èç (A3) следует (A4).

Åñëè A1; A2; : : : 2 F, то при всех i = 1; 2; : : : по свойству (A2) выполнено Ai 2 F.

1

S

Тогда из (A3) следует, что Ai 2 F, и, по (A2), дополнение к этому множеству также

13

Доказательство. AnB = A \ B 2 F, так как A 2 F, B 2 F, и по (A4) их пересечение тоже принадлежит F.

Пример 11. Пусть = f1; 2; 3; 4; 5; 6g — пространство элементарных исходов (например, при бросании игрального кубика). Следующие наборы подмножеств являются

-алгебрами (доказать!):

1.F = f ; ?g = ff1; 2; 3; 4; 5; 6g; ?g — тривиальная -алгебра.

2.F = f ; ?; f1g; f1gg = ff1; 2; 3; 4; 5; 6g; ?; f1g; f2; 3; 4; 5; 6gg.

4.F — множество всех подмножеств . Доказать, что если состоит из n элементов, то в множестве всех его подмножеств ровно 2n элементов.

Итак, мы определили специальный класс F подмножеств пространства элементарных исходов , названный -алгеброй событий, причем применение счетного числа любых операций (таких, как объединение, пересечение, дополнение) к множествам из F снова дает множество из F (не выводит за рамки этого класса). Множества A 2 F мы и назвали «событиями».

Определим теперь понятие «вероятности» как функции, определенной на множестве событий (то есть функции, которая каждому событию ставит в соответствие число). А чтобы читателю сразу стало понятно, о чем пойдет речь, добавим: вероятность мы определим как неотрицательную нормированную меру, заданную на -алгебре F подмножеств .

3.2Вероятность как нормированная мера

Определение 11.

Пусть — некоторое множество и F — -алгебра его подмножеств. Функция: F ! R [ f1g называется мерой на ( ; F), если она удовлетворяет условиям:

(M1) Для любого множества A 2 F его мера неотрицательна: (A) > 0.

Иначе говоря, мера есть неотрицательная, счетно-аддитивная функция множеств.

Определение 12. Пусть — некоторое множество и F — -алгебра его подмножеств. Мера : F ! R называется нормированной, если ( ) = 1. Другое название нормированной меры — «вероятность» èëè «вероятностная мера».

То же самое еще раз и подробно:

14