Материал: Чернова Н.И. - Теория вероятностей - 1999

«Если я имею одинаковые шансы на получение a или b, то цена моему ожиданию равна (a+b)=2».

Õ ð è ñ ò è à í Ã þ é ã å í ñ, О расчетах в азартной игре (1657)

Раздел 11. Числовые характеристики случайных величин

11.1Математическое ожидание случайной величины

Определение 39. Математическим ожиданием E (средним значением, первым моментом) случайной величины с дискретным распределением, задаваемым таблицей P( = ai) = pi, i 2 Z, называется число

XX

ii

P

Åñëè æå jaijpi = 1, то говорят, что математическое ожидание не существует.

i

Определение 40. Математическим ожиданием E (средним значением, первым моментом) случайной величины с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения f (x), называется число

R

Если же jxjf (x) dx = 1, то говорят, что математическое ожидание не существует.

1

Математическое ожидание имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в точки ai массу pi (для дискретного распределения), или «размазав» ее с плотностью f (x) (для абсолютно непрерывного распределения), то точка E есть координата «центра тяжести» прямой.

Пример 28. Пусть случайная величина равна числу очков, выпадающих при одном

Пример 29. Пусть случайная величина — координата точки, брошенной наудачу

распределения на отрезке есть середина отрезка!

11.2Свойства математического ожидания

Во всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.

E0. Математическое ожидание случайной величины есть ЧИСЛО!

55

E1. Для произвольной функции g : R ! R

8

X

>g(ak)P( = ak); если распределение дискретно;>

Доказательство. Мы докажем это свойство (как и почти все дальнейшие) только для дискретного распределения. Пусть g( ) принимает значения c1; c2; : : : с вероятностями

X

E2. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной: E c = c.

E3. Постоянную можно вынести за знак математического ожидания: E (c ) = cE .

Доказательство. Следует из свойства E1 ïðè g(x) = cx.

E4. Математическое ожидание суммы любых случайных величин и равно сумме их математических ожиданий:

E ( + ) = E + E :

Доказательство. Для величин с дискретным распределением: пусть xk è yn — зна- чения и , соответственно. Для функции g : R2 ! R можно доказать свойство, аналогичное E1 (сделать это! ). Пользуясь этим свойством для g(x; y) = x + y, запишем:

56

E ( ) = E E не следует независимость величин и .

Пример 30. Пусть ' = U0;2 , = cos ', = sin ' — заведомо зависимые случайные величины (доказать!). Но математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий: по свойству E1

11.3Моменты старших порядков. Дисперсия

Определение 41. Åñëè E j jk < 1, то число

E k называется моментом порядка k (k-м моментом) случайной величины ;

E j jk называется абсолютным моментом порядка k (абсолютным k-м моментом) случайной величины ;

E ( E )k называется центральным моментом порядка k (центральным k-м моментом) случайной величины ;

E j E jk называется абсолютным центральным моментом порядка k (абсолютным центральным k-ì моментом) случайной величины .

Число D = E ( E )2 (центральный момент порядка 2) называется дисперсией случайной величины

Пример 31. Пусть, скажем, случайная величина принимает значение 0 с вероятностью 1 10 5, и значение 100 с вероятностью 10 5. Посмотрим, как моменты разных порядков реагируют на большие, но маловероятные значения случайной величины.

Пример 32. Дисперсия D = E ( E )2 есть «среднее значение квадрата отклонения случайной величины от своего среднего». Посмотрим, за что эта величина отвечает.

Пусть случайная величина принимает значения 1 с вероятностью 1=2, а слу- чайная величина — значения 10 с вероятностью 1=2. Тогда E = E = 0, поэтому D = E 2 = 1, D = E 2 = 100. Говорят, что дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Если говорить о распределении случайной величины, как о распределении единичной массы по невесомому стержню, то дисперсия есть в точности момент инерции этого стержня, закрепленного в центре тяжести.

57

p

Определение 42. Если дисперсия величины конечна, то число = D называют

среднеквадратическим отклонением случайной величины .

Чтобы прояснить связь моментов разных порядков, докажем несколько неравенств.

Теорема 26 (Неравенство Йенсена).

Пусть функция g : R ! R выпукла (âíèç :-)) ). Тогда для любой случайной величины с конечным первым моментом

E g( ) > g(E ):

Нам понадобится следующее свойство выпуклых функций (то есть таких, что для любых a < b при всяком 2 [0; 1] верно g(a) + (1 )g(b) > g( a + (1 )b)):

Лемма 8. Пусть функция g : R ! R выпукла. Тогда для всякого y найдется число c(y) такое, что при всех x

Докажем, что это неравенство верно и при x < y, и заодно покажем, что c(y) конечно.

Последнее выражение заведомо конечно, то есть c(y) > 1. Более того, мы получили, что требуемое неравенство выполнено и для x < y:

g(E ) + c(E )( E ). Вычислим математическое ожидание обеих частей неравенства. Так как E ( E ) = 0, и неравенство между математическими ожиданиями сохраняется по следствию 12, òî E g( ) > g(E ).

Следующее свойство показывает, что из существования моментов больших порядков следует существование моментов меньших порядков.

58

Следствие 13. Åñëè E j jt < 1, то для любого 0 < s < t

(E j js)t 6 (E j jt)s

Доказательство. Поскольку 0 < s < t, то g(x) = jxjt=s — выпуклая функция. По неравенству Йенсена для = j js,

g(E ) = (E )t=s = (E j js)t=s 6 E g( ) = E j jt=s = E j js t=s = E j jt:

Возведя обе части неравенства в степень s, получим требуемое неравенство.

В частности, конечность второго момента (или дисперсии) влечет существование математического ожидания.

q

Следствие 14. Åñëè E j jk < 1 при некотором k > 1, òî E j j 6 k E j jk.

11.4Свойства дисперсии

Все свойства дисперсии следуют из соответствующих свойств математического

неотрицательной с.в.: D = E ( E )2, и неотрицательность дисперсии следует из свойства E5.

По тому же свойству, D = 0 если и только если ( E )2 = 0 ï.í., òî åñòü = ï.í.

Действительно,

D ( + ) = E ( + )2 (E ( + ))2 = E 2 + E 2 + 2E ( ) (E )2 (E )2 2E E = D + D ;

так как математическое ожидание произведения независимых с.в. равно произведению их математических ожиданий.

Замечание 20. См. замечание 19.

D6. Минимум среднеквадратического отклонения случайной величины от точек ве-

щественной прямой есть среднеквадратическое отклонение от своего математи-

ческого ожидания: D = E ( E )2 = min E ( a)2.

a

Наименьший момент инерции стержня с распределенной на нем единичной массой получится, если точка вращения — центр тяжести стержня, а не любая другая точка.

59