Материал: Частина 2
“Курс вищої математики. Частина 2.”
Якщо побудувати в крапці А кривій нормаль, направлену у бік опуклості, то можна відкласти відрізок АС = R, де R – радіус кривизни кривої в точці А. Тогда крапка З(а, b) називається центром кривизни кривої в крапці А.
Круг радіусу R з центром в крапці З називається довкола кривизни.
Очевидно, що в крапці А кривизна кривої і кривизна кола рівні.
Можна показати, що координати центру кривизни можуть бути знайдені по формулах:
|
′ |
+ y |
′2 |
) |
|
|
1 + y |
′2 |
|
a = x − |
y (1 |
|
; |
b = y + |
|
; |
|||
|
y′′ |
|
|
y′′ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Визначення: Сукупність всіх центрів кривизни кривої лінії утворюють нову лінію, яка називається еволютою по відношенню до даної кривої. По відношенню до еволюти початкова крива називається евольвентою.
Приведені вище рівняння, що визначають координати центрів кривизни кривої визначають рівняння еволюти.
Властивості еволюти.
Теорема 1: Нормаль до даної кривої є дотичною до її еволюти.
Теорема 2: Модуль різниці радіусів кривизни в будь-яких точках кривої рівний модулю довжини відповідної еволюти.
С3
С2
С1
R1 R2 R3
M1
M’1 M2 M3
M’2
M’3
Треба відзначити, що який – або еволюті відповідає нескінченне число евольвент. Вказані вище властивості можна проілюструвати таким чином: якщо на еволюту натягнута нитка, то евольвента виходить як траєкторна лінія кінця нитки при її змотуванні або розмотуванні за умови, що нитка знаходиться в натягнутому стані.
41
“Курс вищої математики. Частина 2.”
Приклад: Знайти рівняння еволюти кривою, заданою рівняннями:
x = a(cost +t sin t)y = a(sin t −t cost)
x& = a(−sin t +sin t +t cost) = at costy& = a(cost −cost +t sin t) = at sin t
y′ = xy&& = tgt; 1+ ( y′)2 = sec2 t,
y′′ = |
d(tgt) |
= |
d(tgt) |
|
dt |
= sec |
2 |
t |
1 |
= |
sec3 t |
dx |
dt |
dx |
|
& |
at |
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
Рівняння еволюти: |
|
|
Остаточно: |
p = a cost |
- це рівняння кола з центром на початку координат радіусу а. |
|
||
|
q = a sin t |
|
Початкова крива виходить свого роду розгорткою кола. Нижче приведені графіки початкової кривої і її еволюти.
|
|
15 |
|
|
|
10 |
|
|
|
5 |
|
-10 |
-5 |
5 |
10 |
|
|
-5 |
|
|
|
-10 |
|
|
|
-15 |
|
|
Кривизна просторової кривої. |
|
|
42
“Курс вищої математики. Частина 2.”
A(x, у, z)
B
r + ∆r |
r |
0 у
x
Для довільної крапки А, що знаходиться на просторовій кривій, координати можуть бути визначені як функції деякої довжини дуги S.
x = (S); |
у = (S); |
z = f(S); |
rr = rr(S) = ϕ(S)i + ψ(S) j + f (S)k ;
Приведене вище рівняння називають векторним рівнянням лінії в просторі.
Визначення: Лінія, яку опише в просторі змінний радіус, – вектор при зміні параметра S, називається годографом цього вектора.
r |
|
|
AB |
|
dr |
|
∆r |
|
|
∆r |
= |
|
|
|
тоді |
= lim |
- вектор, направлений по дотичній до кривій в крапці А(x, |
||
|
|
|
|||||||
∆S |
|
|
dS |
∆S |
|||||
|
|
AB |
∆S →0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
у, z).
Але оскільки, то ar = dSdr - одиничний вектор, направлений по дотичній.
|
|
r |
|
dx r |
|
dy |
|
r |
|
dz |
r |
||
Якщо прийняти, то a |
= |
|
i |
+ |
|
|
j |
+ |
|
k . |
|||
dS |
dS |
|
dS |
||||||||||
dx 2 |
dy |
2 |
|
dz |
2 |
=1 . |
|
||||||
Причому |
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|||||
dS |
dS |
|
|
dS |
|
|
|
|
|||||
Розглянемо другу похідну
Визначення: Пряма, що має напрям вектора називається головною нормаллю до кривій. Її одиничний вектор позначається n .
dSda = K nr де До – кривизна кривої.
d 2 rr |
= |
nr |
; |
|
dS 2 |
R |
|||
|
|
Кривизна просторової кривої може бути знайдена по формулі:
K = 
(rr′×rr′′)2
[(rr′)2 ]3
43
“Курс вищої математики. Частина 2.”
Можливий і інший запис формули для кривизни просторової кривої (вона виходить з приведеної вище формули):
|
|
2 |
r |
|
2 |
|
2 |
r |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
r |
|
d |
r |
|
x |
|
y |
|
z |
|
|||||||||||||
K = |
d |
|
|
= |
|
= |
d |
|
|
|
d |
|
|
|
d |
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
dS |
2 |
|
|
2 |
|
+ |
|
2 |
|
+ |
|
2 |
|
|||||||
|
dS |
|
|
|
|
|
dS |
|
|
|
dS |
|
|
|
dS |
|
|
|
||||||
Визначення: Вектор |
d 2 rr |
називається |
вектором кривизни. Величина ρ = |
1 |
|
dS 2 |
K |
||||
|
|
|
називається радіусом кривизни.
Про формули Френе.
Формулами Френе називаються співвідношення:
dar |
= |
nr |
; |
db |
= |
nr |
; |
dnr |
= − |
ar |
− |
b |
; |
|
dS |
R |
dS |
T |
dS |
R |
T |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
nr = b ×ar;
Остання формула отримана з двох перших.
У цих формулах: r
nr - одиничний вектор головної нормалі до кривій
b - одиничний вектор бинормали R – радіус кривизни кривої
Т – радіус кручення кривої.
Визначення: Площина, що проходить через дотичну і головну нормаль до кривій в крапці А називається дотичною площиною.
Визначення: Нормаль до кривій, перпендикулярна до дотичної площини, називається бинормалью. Її одиничний вектор- b .
rr
db |
|
1 |
|
db |
|
1 |
r |
|
= |
|
; |
|
= |
|
n; |
dS |
T |
dS |
T |
Величина T1 називається крученням кривої.
Нижче розглянемо декілька прикладів дослідження методами диференціального числення різних типів функцій.
Приклад: Методами диференціального числення досліджувати функцію y = 3 1− x3 і побудувати її графік.
1.Областю визначення даної функції є всі дійсні числа (-∞; ∞).
2.Функція є функцією загального вигляду в сенсі парності і непарності.
3.Точки перетину з координатними осями: з віссю Оу: x = 0; у = 1;
звіссю Ох: у = 0; x = 1;
4.Точки розриву і асимптоти: Вертикальних асимптот немає.
Похилі асимптоти: загальне рівняння у = kx + b;
44
“Курс вищої математики. Частина 2.”
k = lim |
f (x) |
3 |
1− x3 |
= lim 3 |
1 |
− x3 |
|
|
1 |
|
−1 = −1; |
|
|
|
|
|
|
|||
x |
= lim |
x |
|
x3 |
= lim |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→∞ |
x→∞ |
x→∞ |
|
|
x→∞ |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b = lim( f (x) − kx) = lim(3 |
1 − x3 + x) = lim |
3 |
|
|
|
(1 − x3 + x3 ) |
|
|
|
|
= 0; |
|||||||||
x→∞ |
|
|
x→∞ |
|
|
|
x←∞ |
|
− x |
3 |
2 |
3 |
1 |
− x |
3 |
+ x |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 |
|
) − x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разом: у = -х – асимптота похилої.
5. Зростання і убування функції, точки екстремуму.
y′ = 13 (1− x3 )2 / 3 (−3x2 ). Видно, що у 0 при будь-якому х ≠ 0, отже, функція убуває на
всій області визначення і не має екстремумів. У точці х = 0 перша похідна функції рівна нулю, проте в цій крапці убування не змінялося на зростання, отже, в точці х = 0 функція швидше за все має перегин. Для знаходження точок перегину, знаходимо другу похідну функції.
y′′ = |
− 2x |
у′′ = 0 при х =0 і у′′ = ∞ при х = 1. |
3 |
(1 − x3 )5 |
|
Крапки (0,1) і (1,0) є точками перегину, оскільки у′′(1-h)< 0; у′′(1+h) >0; у′′(-h)> 0; у(h)<
′′0 для будь-якого h > 0.
6. Побудуємо графік функції. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
-2 |
-1 |
1 |
2 |
|
|
-1 |
|
|
|
-2 |
|
|
Приклад: Досліджувати функцію y = |
|
x3 |
+ 4 |
і побудувати її графік. |
|
|
x2 |
|||
|
|
|
|
||
1. |
Областю визначення функції є всі значення х, окрім х = 0. |
||||
2. |
Функція є функцією загального вигляду в сенсі парності і непарності. |
||||
3. |
Точки перетину з координатними осями: з віссю Ох: у = 0; x = |
||||
|
з віссю Оу: x = 0; у – не існує. |
|
|
|
|
4. |
Точка х = 0 є точкою розриву, отже, пряма х = 0 є вертикальною асимптотою. |
||||
Похилі асимптоти шукаємо у вигляді: у = kx + b. |
|
||||
|
45 |
|
|
|
|