Материал: Частина 2

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

			“Курс вищої математики. Частина 2.”
	i=n
limn→∞	∑ f (xi , yi )Si	= ∫∫ f (x, y)dxdy
	i=1	∆

З урахуванням того, що Si = ∆xi ∆yi отримуємо:

i=n	i=n i=n
∑ f (xi , yi )Si = ∑∑ f (xi , yi )∆yi ∆xi
i=1	i=1 i=1

У приведеному вище записі є два знаки, оскільки підсумовування проводиться по двох змінним х і у.

Оскільки ділення області інтеграції довільне, також довільний і вибір точок Рi, то, вважаючи всі площі Si однаковими, отримуємо формулу:

∫∫ f (x, y)dydx =	∆limx→0	∑∑ f (x, y)∆y∆x
∆	∆y→0	∆

Умови існування подвійного інтеграла.

Сформулюємо достатні умови існування подвійного інтеграла.

Теорема. Якщо функція f(x, у) безперервна в замкнутій області, то подвійний

інтеграл ∫∫ f (x, y)d∆ існує.

∆

Теорема. Якщо функція f(x, у) обмежена в замкнутій області ∆ і безперервна в ній усюди, окрім кінцевого числа кусочно – гладких ліній, то подвійний інтеграл

∫∫ f (x, y)d∆ існує.

∆

Властивості подвійного інтеграла.

1) ∫∫[f1 (x, y) + f2 (x, y) − f3 (x, y)]dydx = ∫∫ f1 (x, y)dydx + ∫∫ f2 (x, y)dydx − ∫∫ f3 (x, y)dydx

∆ ∆ ∆ ∆

2)∫∫kf (x, y)dydx = k ∫∫ f (x, y)dydx

∆∆

3)Якщо ∆ = ∆1 + ∆2, то

∫∫f (x, y)dydx = ∫∫ f (x, y)dydx + ∫∫ f (x, y)dydx

∆

∆1

∆2

4) Теорема про середній. Подвійний інтеграл від функції f(x, у) рівний твору значення цієї функції в деякій точці області інтеграції на площу області інтеграції.

∫∫ f (x, y)dydx = f (x0 , y0 ) S

∆

“Курс вищої математики. Частина 2.”

5) Якщо f(x, у) ≥ 0 в області, то ∫∫ f (x, y)dydx ≥ 0 .

∆

6) Якщо f1(x, у) ≤ f2(x, у), то ∫∫ f1 (x, y)dydx ≤ ∫∫ f2 (x, y)dydx .

∆∆

7)∫∫ f (x, y)dydx ≤ ∫∫ f (x, y) dydx .

∆∆

Обчислення подвійного інтеграла.

Теорема. Якщо функція f(x, у) безперервна в замкнутій області, обмеженій

лініями х = а, x = b, (а < b), у = (x), ϕу = (x), ψде ϕ і ψ - безперервні функції і ϕ ≤ ψтоді

	b	ψ( x)		b	ψ( x)
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫		∫ f (x, y)dy	dx = ∫dx		∫ f (x, y)dy
∆	a	ϕ( x)		a	ϕ( x)

уу = (x)

∆

у= (x)ϕ

аb x

Приклад. Обчислити інтеграл, якщо область ∆ обмежена лініями: у = 0, у = x2, x = 2.

						∆
0	2		x
	2	x2	2		2	y=x	2	2				4			4			5	2
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dx ∫			(x − y)dy = ∫(xy −	y				= ∫(x	3		x		x				x
				y					3		x		x				x
						)				−			)dx =			−				=
				2		)				−	2		)dx =	4		−	10			=
∆	0	0	0	2		y=0		0			2			4			10		0
= 4 −3,2 = 0,8

Теорема. Якщо функція f(x, у) безперервна в замкнутій області, обмеженій лініями у = з, у = d (з < d), x = (y), Φx = (y) ((y) ≤ (y)), ΨΦΨто

	d	Ψ( y)
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dy		∫ f (x, y)dx
∆	c	Φ( y)

Приклад. Обчислити інтеграл, якщо область ∆ обмежена лініями у = x, x = 0, у = 1, у = 2.

																	“Курс вищої математики. Частина 2.”
		у
		у = x							2
									2		∆
									1		∆
									1
		0							x
	2		2	2	x	2		2	2	x3			2		y	2 4			3		4		4		2	64		4
	2		2			2		2		x3			2		y	2 4			3		4		4		2	64		4
∫∫(x		+ y		)dxdy = ∫dy∫(x			+ y		)dx = ∫			+ y		x		dy = ∫		y		dy =		y			=		−		= 5
											3					1 3					12					12 12
									1						0
∆				1	0				1						0									1

Приклад. Обчислити інтеграл, якщо область інтеграції ∆ обмежена лініями х = 0, х = у2, у = 2.

				2	y2											2					y2
∫∫(3x2 − 2xy + y)dxdy = ∫dy ∫(3x2							− 2xy + y)dx = ∫										(x3 − yx2 + yx)					dy =
																	(x3 − yx2 + yx)					dy =
																				0
∆				0	0											0				0
2								y	7		y	6		y	4		2			244
= ∫( y	6		5		3			y			y			y						244
		− y		+ y		)dy =				−			+						=
		− y		+ y		)dy =		7		−	6		+	4					=	21
0																		0
0																		0

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл, якщо область інтеграції обмежена лініями ху=1, у = x , х = 2.

	2
	1.75
	1.5
	1.25
	1
	0.75
	0.5
	0.25
		0.5	1		1.5	2		2.5
	2	x	2	y 2	x	2	x ln x			ln x
∫∫y ln xdxdy = ∫dx ∫y ln xdy = ∫				2	ln x	dx = ∫		2	−	2x	2 dx
∆	1	1/ x	1	2	1/ x	1		2		2x

u = ln x;

dv = xdx;

x ln xdx =

ln x −

dx =

ln x −

∫

∫2

du =

dx;

v =

ln x −

= 2 ln 2 −1 +

= 2 ln 2

−

∫x ln xdx =

ln x

txdt

tdt

u = t;

ln x = t;

x = e

;

−t

dx =

tdt

∫ x2

∫

dx;

dv = e

x2 ; 4

du = dt;		= −te−t +
		= −te−t +
−t dt; v = −e−t ;

“Курс вищої математики. Частина 2.”

+ ∫e−t dt = −te−t − e−t = −													ln x			−	1		;
+ ∫e−t dt = −te−t − e−t = −																−		x	;
													x					x
2	ln x				ln x			1			2				ln 2					1						ln 2			1
∫			dx =	−		−						= −							−			+1 = −						+		;
	x	2	dx =	−	x	−			x			= −				2			−	2		+1 = −					2	+	2	;
		2								1
1										1
	∫∫y ln xdxdy =					1								3				ln 2					1	=	1 5ln 2					−	5	=	5ln 2	−	5
3.							2 ln 2 −									+					−
3.							2 ln 2 −							4		+			2		−				2			2			4		4		8
	∆					2								4					2				2		2			2			4		4		8

Заміна змінних в подвійному інтегралі.

Расмотрім подвійний інтеграл вигляду, де змінна х змінюється

змінна у – від 1(x) до ϕ2(х).

Покладемо х = f(u, v); у = ϕ(u, v)ϕ

в межах від а до b, а

Тоді dx =

∂f du +

∂f

dv ;

dy =

∂ϕ du +

∂ϕ dv ;

∂u

∂v

∂u

∂v

ϕ2 ( x)

∫∫F(x, y)dydx = ∫dx

∫F(x, y)dy

∆

a ϕ1 ( x)

оскільки при першій інтеграції змінна х береться за постійну, то dx = 0.

∂f

du + ∂f dv = 0 тобто

∂u

∂v

пожставляя це вираз в записане вище співвідношення для dy, отримуємо:

∂ϕ

∂f ∂v

dv + ∂ϕ dv =

∂ϕ

∂f −

∂ϕ

∂f

dy = −

∂v

∂u

∂v

∂f

∂u

∂f ∂u

∂v

∂u

∂ϕ

∂f

∂ϕ

∂f

Вираз

−

∂u

∂v

називається визначником Якобі або Якобіаном

∂v

∂u

∂v

∂ϕ ∂ϕ

∂u

∂v

функцій f(u, v) і ϕ(u, v).

(Якобі Карл Густав Якоб – (1804-1851) німецький математик)

Тоді

Оскільки при першій інтеграції приведений вище вираз для dx приймає вигляд dx = ∂∂uf du ( при першій інтеграції вважаємо v = const, dv = 0), то при зміні порядку інтеграції, отримуємо співвідношення:

Подвійний інтеграл в полярних координатах.

Скористаємося формулою заміни змінних:

∫∫F (x, y)dxdy = ∫∫F ( f (u, v),ϕ(u, v)) i dudv

∆∆

При цьому відомо, що

“Курс вищої математики. Частина 2.”

В цьому випадку Якобіан має вигляд:

∂x

cos θ

−ρsin θ

∂ρ

∂θ

= ρcos

θ+ ρsin θ = ρ

∂y

sin θ

ρcos θ

∂ρ

∂θ

Тоді Тут τ - нова область значень

Потрійний інтеграл.

При розгляді потрійного инеграла детально не зупинятимемося на всіх тих теоретичних викладеннях, які були детально розібрані стосовно подвійного інтеграла, оскільки істотних відмінностей між ними немає.

Єдина відмінність полягає в тому, що при знаходженні потрійного інтеграла інтеграція ведеться не по двох, а по трьом змінним, а областю інтеграції є не частина площини, а деяка область в техмерном просторі.

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz =	∆limx→0 ∑∑∑ f (x, y, z)∆x∆y∆z
r	∆y→0	v
	∆z→0
Підсумовування проводиться по області v, яка обмежена деякою поверхнею ϕ(x,
у, z) = 0.	x2	y2 z2
	x2	y2 z2
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (x, y, z)dzdydx
r	x1	y1 z1

Тут х1 і х2 – постійні величини, у1 і у2 – можуть бути деякими функціями від х або постійних величин, z1 і z2 – можуть бути функціями від х і у або постійними величинами.

					Приклад.			Обчислити інтеграл
1 x2 xy				2				1 x2	2	z 2				xy			1 1 x2				2	2 2	1 1 x2		4 3	1 1		4	y 4	x2
				2					2	z 2				xy			1 1 x2				2	2 2	1 1 x2		4 3	1 1		4	y 4	x2
∫∫∫x					yzdzdydx = ∫∫x														∫∫x			yx y dydx =		∫∫x	y dydx =		∫x

										y				dydx =																dx =
0 0 0								0 0			2			0			2 0 0						2	0 0		2	0		4	0
	1	1	x		4 x8		1	1				1	1			1 =		1
=		∫				dx =		∫x12 dx =							x13					.


2		0			4	8		0			8		13			0	104
2		0			4	8		0			8		13			0	104

Заміна змінних в потрійному інтегралі.

Операція заміни змінних в потрійному інтегралі аналогічна соответсвующей операції для подвійного інтеграла.

Можна записати:

∫∫∫F(x, y, z)dxdydz = ∫∫∫F( f (u,v,

∂x

∂u i = ∂∂uy

∂z

∂u

w),ϕ(u, v, w),ψ(u, v, w)) i dudvdw

∂x ∂x

∂v ∂w ∂y ∂y

∂v ∂w ∂z ∂z

∂v ∂w

100

∫∫F(x, y)dydx = ∫dv

∫F( f (u,v),ϕ(u, v))


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11