Материал: Частина 2

Отримана система рівнянь є необхідними умовами умовного екстремуму. Проте ця умова не є достатньою. Тому при знаходженні критичних крапок потрібне їх додаткове дослідження на екстремум.

Вираз u = f(x, у)+ λϕ(x, у) називається функцією Лагранжа.

Приклад. Знайти екстремум функції f(x, у)= xy, якщо рівняння зв'язку: 2x + 3y – 5 = 0

u = xy + λ(2x +3y −5)

Таким чином, функція має екстремум в крапці 5 ; 5 .

4 6

Використання функції Лагранжа для знаходження точок екстремуму функції називається також методом множників Лагранжа.

Вище ми розглянули функцію два змінних, проте, всі міркування щодо умовного екстремуму можуть бути поширені на функції більшого числа змінних.

Похідна по напряму.

Розглянемо функцію u(x, у, z) в точці М( x, у, z) і точці М1( x + ∆x, у + ∆у, z + ∆z).

91

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Проведемо через крапки М і М1 вектор S . Кути нахилу цього вектора до напряму координатних осей х, у, z позначимо відповідно γ. Косинуси цих кутів

називаються направляючими косинусами вектора S .

Відстань між крапками М і М1 на векторі S позначимо S.

∆S = ∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2

Висловлені вище припущення, проілюструємо на малюнку: z

M

∆S

M1

S

у

x

Далі припустимо, що функція u(x, у, z) безперервна і має безперервні приватні похідні по змінним х, у і z. Тоді правомірно записати наступний вираз:

∆u = ∂∂ux ∆x + ∂∂uy ∆y + ∂∂uz ∆z + ε1∆x + ε2 ∆y + ε3∆z ,

де величини ε1, ε2, ε3 – нескінчено малі при ∆S → 0 .

З геометричних міркувань очевидно:

Таким чином, приведена вище рівність може бути представлені таким чином:

∆∆Su = ∂∂ux cos α + ∂∂uy cosβ + ∂∂uz cos γ + ε1 cos α + ε2 cosβ+ ε2 cos γ ;

92

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Відмітимо, що величина s є скалярною. Вона лише визначає напрям вектора S . З цього рівняння виходить наступне визначення:

напряму вектора S в крапці з координатами ( x, у, z).

Пояснимо значення викладених вище за рівність на прикладі.

Приклад. Обчислити похідну функції z = x2 + y2x в крапці А(1, 2) по напряму вектора АВ. У (3, 0).

Рішення. Перш за все необхідно визначити координати вектора АВ.

АВ =(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 i − 2 j .

Далі визначуваний модуль цього вектора:

напряму вектора АВ.

Градієнт.

93

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Визначення: Якщо в деякій області D задана функція u = u(x, у, z) і деякий вектор, проекції якого на координатні осі рівні значенням функції u у відповідній крапці

При цьому говорять, що в області D задано поле градієнтів.

Зв'язок градієнта з похідній по напряму.

Теорема: Хай задана функція u = u(x, у, z) і поле градієнтів gradu = ∂∂ux ir + ∂dyu rj + ∂∂uz kr .

Тоді похідна ∂∂us по напряму деякого вектора S дорівнює проекції вектора gradu на вектор S .

скалярний твір можна записати у вигляді твору модулів цих векторів на косинус кута

між ними. З урахуванням того, що вектор S одиничний, тобто його модуль рівний одиниці, можна записати:

gradu cos ϕ = ∂∂us

Вираз, що стоїть в правій частині цієї рівності і є проекцією вектора gradu на вектор S .

Теорема доведена.

Для ілюстрації геометричного і фізичного сенсу градієнта скажемо, що градієнт

– вектор, що показує напрям наискорейшего зміни деякого скалярного поля u в какойабо крапці. У фізиці існують такі поняття як градієнт температури, градієнт тиску і тому подібне Тобто напрям градієнта є напрям найбільш швидкого зростання функції.

З погляду геометричного уявлення градієнт перпендикулярний поверхні рівня функції.

94

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Кратні інтеграли.

Як відомо, інтеграція є процесом підсумовування. Проте підсумовування може проводиться неодноразово, що приводить нас до поняття кратних інтегралів. Розгляд цього питання почнемо з розгляду подвійних інтегралів.

Подвійні інтеграли.

Розглянемо на площині деяку замкнуту криву, рівняння якої f(x, у)= 0.

у

0 x

Сукупність всіх крапок, лежачих усередині кривою і на найкривішій назвемо замкнутою областю ∆. Якщо вибрати точки області без урахування крапок, лежачих на кривій, область буде називається незамкнутою область ∆.

З геометричної крапки зір ∆ - площа фігури, обмеженої контуром.

Розіб'ємо область ∆ на n часткових областей сіткою прямих, віддалених один від одного по осі х на відстань хi, а по осі у – на уi. Взагалі кажучи, такий порядок розбиття наобязателен, можливе розбиття області на часткові ділянки довільної форми і розміру.

Отримуємо, що площа S ділиться на елементарні прямокутники, площі яких рівні Si = ∆xi ∆yi .

У кожній частковій області візьмемо довільну точку Р(хi, yi) і складемо інтегральну суму

i=n

∑ f (xi , yi ) Si ;

i=1

де f – функція безперервна і однозначна для всіх точок області ∆.

Якщо нескінченно збільшувати кількість часткових областей i, тоді, очевидно, площа кожної часткової ділянки Si прагне до нуля.

Визначення: Якщо при прагненні до нуля кроку розбиття області ∆ інтегральні

i=n

суми ∑ f (xi , yi ) Si мають кінцеву межу, то ця межа називається подвійним

i=1

інтегралом від функції f(x, у) по області ∆.

95