Материал: Частина 2

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Повний приріст і повний диференціал.

Визначення. Для функції f(x, у) вираз z = f( x + ∆x, у + ∆у) – f(x, у) називається

повним приростом.

Якщо функція f(x, у) має безперервні приватні похідні, то
∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) + f (x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y) = [f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y)]+
+[f (x, y + ∆y) − f (x, y)]
Застосуємо теорему Лагранжа (див. Теорема Лагранжа.) до виразів, що стоять в
квадратних дужках.
f (x, y + ∆y) − f (x, y) = ∆y ∂f (x, y)
					∂y
f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y) = ∆x ∂f (x, y + ∆y)
тут						∂x

Тоді отримуємо
∆z = ∆x ∂f (x, y + ∆y) + ∆y ∂f (x, y)
		∂x			∂y
Оскільки приватні похідні безперервні, то можна записати рівність:
lim ∂f (x, y + ∆y)				= ∂f (x, y)
∆x→0		∂x			∂x
∆y→0
lim		∂f (x, y) =		∂f (x, y)
∆x→0		∂y			∂y
∆y→0
Визначення. Вираз ∆z =	∂f (x, y)		∆x +		∂f (x, y)	∆y + α1∆x + α2 ∆y	називається

		∂x			∂y

повним приростом функції f(x, у) в деякій крапці (х, у), де 1 і 2 – нескінченно малі функції при х → 0 і у → 0 відповідно.

Визначення: Повним диференціалом функції z = f(x, у) називається головна лінійна відносно х і у приросту функції z в крапці (х, у).

dz = f x′(x, y)dx + f y′(x, y)dy

Для функції довільного числа змінних:

df (x, y, z,...,t) = ∂∂fx dx + ∂∂fy dy +... + ∂∂ft dt

Приклад. Знайти повний диференціал функції u = x y2 z .

du = ∂∂ux dx + ∂∂uy dy + ∂∂uz dz

“Курс вищої математики. Частина 2.”

∂u	= y 2 zx y2 z−1 ;	∂u	= x y2 z ln x 2 yz;	∂u	= x y2 z ln x y 2 ;
∂x		∂y		∂z

du = y 2 zx y2 z−1dx + 2x y2 z yz ln xdy + y2 x y2 z ln xdz

Приклад. Знайти повний диференціал функції

∂z =

− 2 yx

∂z =

y (x

− y

∂x

(x2 − y 2 )2

+ 2 y

+ y

) − y(−2 y)

= x

− y

′

∂y

(x2 − y 2 )2

dz = −

2xy

dx +

x2 + y 2

(x2 − y

2 )

(x2

− y 2 )

Геометричний сенс повного диференціала. Дотична площина і нормаль до поверхні.

ϕN0

дотична площина

Хай N і N0 – точки даної поверхні. Проведемо пряму NN0. Площина, яка проходить через точку N0, називається дотичною площиною до поверхні, якщо кут між січною NN0 і цією площиною прагне до нуля, коли прагне до нуля відстань NN0.

Визначення. Нормаллю до поверхні в точці N0 називається пряма, що проходить через точку N0 перпендикулярно дотичній площині до цієї поверхні.

Уякій – або крапці поверхня має, або тільки одну дотичну площину, або не має

їїзовсім.

Якщо поверхня задана рівнянням z = f(x, у), де f(x, у) – функція, що диференціюється в точці М0(х0, у0), дотична площина в точці N0(x0,y0(x0,y0)) існує і має рівняння:

z − f (x0 , y0 ) = f x′(x0 , y0 )(x − x0 ) + f y′(x0 , y0 )( y − y0 ) .

					“Курс вищої математики. Частина 2.”
Рівняння нормалі до поверхні в цій крапці:
	x − x0	=	y − y0	= z − z0
	f x′(x0 y0 )		f y′(x0 , y0 )		−1

Геометричним сенсом повного диференціала функції два змінних f(x, у) в крапці (х0, у0) є приріст аплікати (координати z) дотичної площини до поверхні при переході від крапки (х0, у0) до крапки (х0+х, у0+у).

Як видно, геометричний сенс повного диференціала функції два змінних є просторовим аналогом геометричного сенсу диференціала функції однієї змінної.

Приклад. Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні z = x2 − 2xy + y 2 − x + 2y

у точці М(1, 1, 1).

∂z

= 2x − 2 y −1;

∂z

= −2x + 2 y + 2

∂x

∂y

∂z

= −1;

∂z

= 2;

∂x

∂y

Рівняння дотичної площини:

z −1 = −(x −1) + 2( y −1);

x − 2y + z = 0;

Рівняння нормалі:

x −1

y −1

z −1

;

−1

Наближені обчислення за допомогою повного диференціала.

Хай функція f(x, у) дифференцируема в крапці (х, у). Знайдемо повний приріст цієї функції:

∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) f (x + ∆x, y + ∆y) = f (x, y) + ∆z

Якщо підставити в цю формулу вираз
∆z ≈ dz = ∂f	∆x + ∂f ∆y
∂x	∂y
то отримаємо наближену формулу:
f (x + ∆x, y + ∆y) ≈ f (x, y) + ∂f (x, y)		∆x +	∂f (x, y)	∆y
	∂x		∂y
Приклад. Обчислити приблизно значення,		виходячи		із значення функції
u = x y + ln z при x = 1, у = 2, z = 1.

Із заданого виразу визначимо x = 1,04 – 1 = 0,04, у = 1,99 – 2 = -0,01, ∆z = 1,02 – 1 = 0,02.

Знайдемо значення функції u(x, у, z)= Знаходимо приватні похідні:

Повний диференціал функції u рівний:

								“Курс вищої математики. Частина 2.”
∂u	=			y x y−1		2 1		=1
∂x		2		=		2	1
				x y + ln z
	∂u		=	x y ln x		= 0
	∂y			2 x y + ln z

	∂u			1			1
			=		z	=
	∂z			2 x y + ln z			2

du = 0,04 ∂∂ux −0,01 ∂∂uy + 0,02 ∂∂uz =1 0,04 − 0 0,01+ 12 0,02 = 0,04 + 0,01 = 0,05

1,041,99 + ln1,02 ≈ u(1,2,1) + du =1 + 0,05 =1,05

Точне значення цього виразу: 1,049275225687319176.

Приватні похідні вищих порядків.

Якщо функція f(x, у) визначена в деякій області D, то її приватні похідні f x′(x, y) і f y′(x, y) теж будуть визначені в тій же області або її частині.

Називатимемо ці похідні приватними похідними першого порядку.

Похідні цих функцій будуть приватними похідними другого порядку.

∂2 z

f xx′′(x, y);

∂2 z

f yy′′

(x, y);

∂x2

∂y 2

∂2 z

f xy′′(x, y);

∂2 z

f yx′′ (x, y);

∂x∂y

∂y∂x

Продовжуючи диференціювати отриману рівність, отримаємо приватні похідні

вищих порядків.

Визначення. Приватні похідні вигляду

∂2 z

;

∂2 z

;

∂3 z

;

∂3 z

і так далі

∂x∂y

∂y∂x

∂x∂y∂x

∂x∂y∂y

називаються змішаними похідними.

Теорема. Якщо функція f(x, у) і її приватні похідні

f x′, f y′, f xy′′, f yx′′ визначені і

безперервні в точці М(х, у) і її околиці, то вірне співвідношення:

∂2 f

∂x∂y

∂y∂x

Тобто приватні похідні вищих порядків не залежать від порядку диференціювання.

Аналогічно визначаються диференціали вищих порядків. dz = f x′(x, y)dx + f y′(x, y)

“Курс вищої математики. Частина 2.”

d 2 z = d[f x′(x, y)dx +

f y′(x, y)dy]= f x′′2 (x, y)(dx)2

+ 2 f xy′′(x, y)dxdy +

f y′′2 (x, y)(dy)2

d 3 z =

f ′′3′(x, y)(dx)3 + 3 f ′′2′

(x, y)(dx)2 dy

+ 3 f

′′′2 (x, y)dx(dy)2

+ f

′′3′

(x, y)(dy)3

x y

.......

∂

d n z =

dx +

f (x, y)

∂x

∂y

Тут n – символічний ступінь похідної, на яку замінюється реальний ступінь після зведення в неї що стоїть з дужках виразу.

Екстремум функції декілька змінних.

Визначення. Якщо для функції z = f(x, у), визначеною в деякій області, в деякій околиці точки М0(х0, у0) вірна нерівність

f (x0 , y0 ) > f (x, y)

то точка М0 називається точкою максимуму.

f (x0 , y0 ) < f (x, y)

то точка М0 називається точкою мінімуму.

Теорема. (Необхідні умови екстремуму).

Якщо функція f(x,y) в крапці (х0, у0) має екстремум, то в цій крапці або обидві її приватні похідні першого порядку рівні нулю, або хоч би одна з них не існує.

Цю крапку (х0, у0) називатимемо критичною крапкою.

Теорема. (Достатні умови екстремуму).

Хай в околиці критичної крапки (х0, у0) функція f(x, у) має безперервні приватні

похідні до другого порядку включно. Розглянемо вираз:
						D(x, y) = f x′′2 (x, y) f y′′2 (x, y) −[f xy′′(x, y)]2
f ′′2			1) Якщо D(x0, y0)> 0, то в крапці (х0, у0) функція f(x, у) має екстремум, якщо
f ′′2	(x	0	, y	0	) < 0	- максимум, якщо f ′′2 (x	0	, y	0	) > 0 - мінімум.
x		0		0		x	0		0

2)Якщо D(x0, y0)< 0, то в крапці (х0, у0) функція f(x, у) не має екстремуму

Увипадку, якщо D = 0, вивід про наявність екстремуму зробити не можна.

Умовний екстремум.

Умовний екстремум знаходиться, коли змінні х і у, що входять у функцію u = f( x, у), не є незалежними, тобто існує деяке співвідношення

ϕ(х, у) = 0, яке називається рівнянням зв'язку.

Тоді із змінних х і у тільки одна буде незалежною, оскільки інша може бути виражена через неї з рівняння зв'язку.

Тоді u = f(x, у(x)).

dudx = ∂∂fx + ∂∂fy dydx

В точках екстремуму:

du	=	∂f	+	∂f dy	=0	(1)

dx		∂x		∂y dx

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11