Материал: Частина 2
“Курс вищої математики. Частина 2.”
Оскільки інтеграція проводиться в околиці точки х=0, то можна скористатися для розкладання підінтегральної функції формулой Маклорена.
Розкладання функції cosx має вигляд:
|
x |
2 |
|
x |
4 |
|
x |
6 |
|
x |
2n |
∞ |
x |
2n |
|
cos x =1− |
|
+ |
|
− |
|
+... + (−1)n |
|
|
+... = ∑(−1)n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
(2n)! |
||||||||
2! |
4! |
6! |
|
n=0 |
|||||||||||
Знаючи розкладання функції cosх легко знайти функцію 1 – cosx:
|
x |
2 |
|
x |
4 |
|
x |
6 |
|
x |
2n |
∞ |
x |
2n |
|
1 − cos x = |
|
− |
|
+ |
|
−... + (−1)n+1 |
|
|
+... = ∑(−1)n+1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
(2n)! |
||||||||
2! |
4! |
6! |
|
n=1 |
|||||||||||
У цій формулі підсумовування проводиться по п від 1 до безкінечності, а в попередній
– від 0 до безкінечності. Це – не помилка, так виходить в результаті перетворення.
Тепер представимо у вигляді ряду підінтегральний вираз.
1 − cos x |
= |
1 |
|
− |
x2 |
+ |
x4 |
−... + (−1) |
n−1 x2n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 |
2! |
4! |
6! |
|
(2n)! |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Тепер представимо наш інтеграл у вигляді:
0,5 |
− cos x |
0,5 ∞ |
|
|||
∫ |
1 |
dx = ∫∑(−1) |
n−1 |
|||
|
|
x |
2 |
|
||
0 |
|
|
|
0 n=1 |
|
|
∞ |
x |
2n−2 |
|
+...+ = ∑(−1)n−1 |
|
||
(2n)! |
|||
n=1 |
|||
x2n−2
(2n)! dx
У наступній дії буде застосована теорема про почленном інтеграцію ряду. (Тобто інтеграл від суми буде представлений у вигляді суми інтегралів членів ряду).
Взагалі кажучи, із строго теоретичної точки зору для застосування цієї теореми треба довести, що ряд сходиться і, більш того, сходиться рівномірно на відрізку інтеграції [0, 0,5]. Ці питання будуть детально розглянуті пізніше (Див. .Действия со степенными рядами) Відзначимо лише, що в нашому випадку подібна дія справедлива хоч би по властивостях певного інтеграла (інтеграл від суми рівний сумі інтегралів).
Отже:
0,51 − cos x |
|
0,5 ∞ |
n−1 x2n−2 |
∞ |
(−1)n+1 |
0,5 |
2n−2 |
∞ |
(−1)n+1 |
|
x2n−1 |
|
|
0,5 |
|||||||||
dx = ∫∑(−1) |
dx = ∑ |
|
dx = ∑ |
|
|
||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫x |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||
|
x |
2 |
|
|
(2n)! |
(2n)! |
|
(2n)! |
2n −1 |
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 n=1 |
|
n=1 |
0 |
|
n=1 |
|
0 |
|||||||||||
|
∞ |
(−1) |
n+1 |
0,5 |
2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 |
|
(2n)!(2n −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разом, отримуємо:
0,51 − cos x |
∞ |
(−1)n+1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
∫ |
|
|
dx = ∑ |
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
−... = |
x |
2 |
(2n)!(2n −1)2 |
2n−1 |
4 |
3 2 |
3 |
4! |
5 2 |
5 |
6! |
||||||||
0 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= 0,25 − 0,00174 + 0,0000086 −... ≈ 0,248
Як видно, абсолютна величина членів ряду дуже швидко зменшується, і необхідна точність досягається вже при третьому членові розкладання.
Для довідки: Точне (вірніше – точніше) значення цього інтеграла: 0,2482725418.
76
“Курс вищої математики. Частина 2.”
Невласні інтеграли.
Хай функція f(x) визначена і безперервна на інтервалі [а, ∞). Тоді вона безперервна на будь-якому відрізку [а, b].
Визначення: Якщо існує кінцева межа, то ця межа називається невласним інтегралом від функції f(x) на інтервалі [а, ∞).
Позначення:
Якщо ця межа існує і кінцевий, то говорять, що невласний інтеграл сходиться. Якщо межа не існує або нескінченний, то невласний інтеграл розходиться.
Аналогічні міркування можна привести для невласних інтегралів вигляду:
b |
|
b |
∫ f (x)dx = alim→−∞ ∫ f (x)dx |
||
−∞ |
|
a |
∞ |
c |
∞ |
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
−∞ −∞ c
Звичайно, ці твердження справедливі, якщо вхідні в них інтеграли існують.
Приклад.
∞ |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = lim(sin b −sin 0) = lim sin b - не існує. |
||||||
∫ |
cos xdx = lim |
∫ |
cos xdx = lim sin x |
|
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b→∞ |
|
|
|
|
b→∞ |
|
|
|
b→∞ |
|
|
b→∞ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Невласний інтеграл розходиться. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Приклад. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−1 dx |
= |
−1 dx |
= |
|
|
− |
1 |
|
|
−1 |
= lim |
|
+ |
1 |
|
=1 |
- інтеграл сходиться |
|||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
2 |
|
b→−∞ ∫ |
2 |
|
b→−∞ |
|
x |
|
|
|
b→−∞ |
|
|
b |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
−∞ x |
|
|
b x |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Теорема: Якщо для всіх х (x ≥ a) виконується умова 0 ≤ f (x) ≤ ϕ(x) |
і інтеграл |
|||||
∞ |
∞ |
|
|
|
∞ |
∞ |
|
∫ϕ(x)dx збігається, то ∫ f (x)dx також збігається і ∫ϕ(x)dx ≥ ∫ f (x)dx . |
|
||||||
a |
a |
|
|
|
a |
a |
|
|
Теорема: Якщо для всіх х (x ) виконується умова |
0 ≤ ϕ(x) ≤ f (x) |
і інтеграл |
||||
∞ |
|
|
∞ |
|
|
||
∫ϕ(x)dx розходиться, то ∫ f (x)dx теж розходиться._ |
|
|
|||||
a |
|
|
a |
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
Теорема: Якщо ∫ |
|
f (x) |
|
dx сходиться, то сходиться і інтеграл ∫ f (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
a |
|
∞
В цьому випадку інтеграл ∫ f (x)dx називається таким, що абсолютно сходиться.
a
Інтеграл від розривної функції.
Якщо в точці х = з функція або невизначена, або розривна, то
c |
b |
∫ f (x)dx = blim→c−0 |
∫ f (x)dx |
a |
a |
77
“Курс вищої математики. Частина 2.”
|
b |
|
c |
|
|
Якщо |
інтеграл ∫ f (x)dx існує, |
то інтеграл |
∫ f (x)dx - |
сходиться, якщо інтеграл |
|
|
a |
|
a |
|
|
b |
c |
|
|
|
|
∫ f (x)dx не існує, то ∫ f (x)dx - розходиться. |
|
|
|
||
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
c |
|
Якщо в точці х = а функція терпить розрив, то ∫ f (x)dx = blim→a+0 |
∫ f (x)dx . |
|||
|
|
|
a |
|
b |
Якщо функція f(x) має розрив в точці b на проміжку [а, з], то |
|
|
|||
|
с |
b |
c |
|
|
|
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx |
|
|
||
|
a |
a |
b |
|
|
Таких крапок усередині відрізання може бути декілька.
Якщо сходяться всі інтеграли, що входять в суму, то сходиться і сумарний інтеграл.
Геометричні додатки певного інтеграла.
Обчислення площ плоских фігур.
у
+ +
0 а |
- |
b |
x |
Відомо, що певний інтеграл на відрізку є площею криволінійної трапеції, обмеженій графіком функції f(x). Якщо графік розташований нижче за вісь Ох, тобто f(x)< 0, то площа має знак “-“, якщо графік розташований вище за вісь Ох, тобто f(x)> 0, то площа має знак “+”.
Для знаходження сумарної площі використовується формула S = ∫b f (x)dx .
a
Площа фігури, обмеженої деякими лініями може бути знайдена за допомогою певних інтегралів, якщо відомі рівняння цих ліній.
Приклад. Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = x, у = x2, x = 2.
78
“Курс вищої математики. Частина 2.”
|
6 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
-1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
-1 |
|
|
|
Шукана площа (заштрихована на малюнку) може бути знайдена по формулі:
2 |
2 |
|
x |
3 |
|
x |
2 |
2 |
|
8 |
|
4 |
|
1 |
|
1 |
|
5 |
|
||
S = ∫x2 dx − ∫xdx = |
|
− |
|
|
= |
− |
− |
+ |
= |
(ед2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
1 |
|
3 |
2 |
|
|
1 |
|
3 |
2 |
3 |
2 |
6 |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
Знаходження площі криволінійного сектора.
ρ = f(ϕ)
|
β |
|
α |
О |
ρ |
Для знаходження |
площі криволінійного сектора введемо полярну систему |
координат. Рівняння кривої, що обмежує сектор в цій системі координат, має вигляд ρ = f(ϕ), де ρ - довжина радіус – вектора, що сполучає полюс з довільною точкою кривої, а ϕ - кут нахилу цього радіус – вектора до полярної осі.
Докладніше про полярну систему координат і її зв'язку з декартовою прямокутною системою координат див. Полярная система координат. “Курс вищої математики. Частина 1.”
Площа криволінійного сектора може бути знайдена по формулі
S = 1 ∫β f 2 (ϕ)dϕ
2 α
Обчислення довжини дуги кривої.
уу = f(x)
∆Si ∆yi ∆xi
79
“Курс вищої математики. Частина 2.”
а |
b |
x |
n
Довжина ламаної лінії, яка відповідає дузі, може бути знайдена як Sn = ∑∆Si .
i=1
n
Тоді довжина дуги рівна S = lim ∑∆Si .
max ∆Si →0 i=1
З геометричних міркувань: В той же час
Тоді можна показати (див. Интегрируемая функция.), що
S = maxlim∆xi →0 |
n |
b |
dy |
2 |
|
∑∆Si |
= ∫ |
1 + |
|
dx |
|
|
i=1 |
a |
dx |
|
|
Тобто Якщо рівняння кривої задане параметрично, то з урахуванням правил обчислення
похідної параметрично заданої функції (див. Производная фунции, заданной параметрически.), отримуємо
β
S = ∫ [ϕ′(t)]2 +[ψ′(t)]2 dt ,
α
де х = (t) і у = (t).
Якщо задана просторова крива, і х = (t), у = (t) і z = Z(t), то
β
S = ∫ [ϕ′(t)]2 +[ψ′(t)]2 +[Z ′(t)]2 dt
α
Якщо крива задана в полярних координатах, то
β
S = ∫ ρ′2 + ρ2 dϕ ρ = f(ϕ).
α
Приклад: Знайти довжину кола, заданого рівнянням x2 + y2 = r2.
1 спосіб. Виразимо з рівняння змінну у. Знайдемо похідну Тоді
Тоді S = 2r. Отримали загальновідому формулу довжини кола.
2 спосіб. Якщо представити задане рівняння в полярній системі координат, то отримаємо: r2cos2ϕ + r2sin2ϕ = r2, тобто функція ρ = f(ϕ) = r, ρ′ = dfd(ϕϕ) = 0 тоді
2π 2π
S = ∫
0 + r 2 dϕ = r ∫dϕ = 2πr
0 0
Обчислення об'ємів тіл.
Обчислення об'єму тіла по відомих площах його паралельних перетинів.
80