Материал: Частина 2

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Q(xi-1)

Q(xi)

а xi-1 xi b x

Хай є тіло об'єму V. Площа будь-якого поперечного перетину тіла Q, відома як безперервна функція Q = Q(x). Розіб'ємо тіло на “шари” поперечними перетинами, що проходять через точки хi розбиття відрізання [а, b]. Оскільки на какомабо проміжному відрізку розбиття [xi-1, xi] функція Q(x) безперервна, то приймає на нім найбільше і найменше значення. Позначимо їх відповідно Mi і mi.

Якщо на цих найбільшому і найменшому перетинах побудувати циліндри із створюючими, паралельними осі х, то об'єми цих циліндрів будуть відповідно рівні

При прагненні до нуля кроку розбиття, ці суми мають загальну межу:

Таким чином, об'єм тіла може бути знайдений по формулі:

b

V = ∫Q(x)dx

a

Недоліком цієї формули є те, що для знаходження об'єму необхідно знати функцію Q(x), що вельми проблематично для складних тіл.

Приклад: Знайти об'єм кулі радіусу R.

у

R у

У поперечних перетинах кулі виходять кола змінного радіусу у. Залежно від поточної координати х цей радіус виражається по формулі R2 − x2 .

Тоді функція площ перетинів має вигляд: Q(x)= π(R2 − x2 ). Отримуємо об'єм кулі:

81

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Приклад: Знайти об'єм довільної піраміди з висотою Н і площею підстави S.

QS

xH x

При перетині піраміди площинами, перпендикулярними висоті, в перетині отримуємо фігури, подібні до підстави. Коефіцієнт подібності цих фігур рівний відношенню x/H, де х – відстань від площини перетину до вершини піраміди.

З геометрії відомо, що відношення площ подібних фігур рівне коефіцієнту подібності в квадраті, тобто

Звідси отримуємо функцію площ перетинів: Знаходимо об'єм піраміди:

Об'єм тіл обертання.

Розглянемо криву, задану рівнянням у = f(x). Припустимо, що функція f(x) безперервна на відрізку [а, b]. Якщо відповідну їй криволінійну трапецію з підставами а

іb обертати навколо осі Ох, то отримаємо так зване тіло обертання.

у= f(x)

x

Оскільки кожен перетин тіла площиною x = const є кругом радіусу, то об'єм тіла обертання може бути легко знайдений по отриманій вище формулі:

b

V = π∫ f 2 (x)dx

a

Площа поверхні тіла обертання.

Мi B

82

“Курс вищої математики. Частина 2.”

А

х

xi

Визначення: Площею поверхні обертання кривої АВ навколо даної осі називають межу, до якої прагнуть площі поверхонь обертання ламаних, вписаних в криву АВ, при прагненні до нуля найбільших з довжин ланок цих ламаних.

Розіб'ємо дугу АВ на n частин точками M0, M1, M2 ., Mn. Координати вершин отриманою ламаною мають координати xi і yi. При обертанні ламаної навколо осі отримаємо поверхню, що складається з бічних поверхонь усічених конусів, площа яких рівна Pi. Ця площа може бути знайдена по формулі:

Площа поверхні, описаної ламаної рівна:

a

Функції декілька змінних

83

“Курс вищої математики. Частина 2.”

При розгляді функцій декілька змінних обмежимося докладним описом функцій два змінних, оскільки всі отримані результати будуть справедливі для функцій довільного числа змінних.

Визначення: Якщо кожній парі незалежних один від одного чисел (х, у) з деякої множини по якому - або правилу ставиться у відповідність одне або декілька значень змінної z, то змінна z називається функцією два змінних.

z = f(x, у)

Визначення: Якщо парі чисел (х, у) відповідає одне значення z, то функція називається однозначною, а якщо більш за одне, то – багатозначною.

Визначення: Областю визначення функції z називається сукупність пар (х, у), при яких функція z існує.

Визначення: Околицею точки М0(х0, у0) радіусу r називається сукупність всіх крапок (х, у), які задовольняють умові (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < r .

Визначення: Число А називається межею функції f(x, у) при прагненні крапки М(х, у) до точки М0(х0, у0), якщо для кожного числа ε > 0 знайдеться таке число r >0, що для будь-якої точки М(х, у), для яких вірна умова

MM 0 < r

також вірно і умова f (x, y) − A < ε . Записують:

Визначення: Хай точка М0(х0, у0) належить області визначення функції f(x, у). Тоді функція z = f(x, у) називається безперервною в точці М0(х0, у0), якщо

lim f (x, y) = f (x0 , y0 ) (1)

x→x0 y→y0

причому точка М(х, у) прагне до точки М0(х0, у0) довільним чином.

Якщо в якій – або крапці умова (1) не виконується, то ця крапка називається точкою розриву функції f(x, у). Це може бути в наступних випадках:

1) Функція z = f(x, у) не визначена в точці М0(х0, у0).

2) Не існує межа lim f (x, y) .

x→x0 y→y0

3) Ця межа існує, але він не рівний f( x0, y0).

Властивість. Якщо функція f(x, у .) визначена і безперервна в замкнутій і обмеженій області D, то в цій області знайдеться принаймні одна крапка

N(x0, y0 .), така, що для решти крапок вірна нерівність f(x0, y0 .) ≥ f(x, у .)

а також точка N1(x01, y01 .), така, що для решти всіх крапок вірна нерівність f(x01, y01 .) ≤ f(x, у .)

тоді f(x0, y0 .)= M – найбільше значення функції, а f(x01, y01 .)= m – найменше значення функції f(x, у .) в області D.

Безперервна функція в замкнутій і обмеженій області D досягає принаймні один раз найбільшого значення і один раз найменшого.

84

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Властивість. Якщо функція f(x, у .) визначена і безперервна в замкнутій обмеженій області D, а M і m – відповідно найбільше і найменше значення функції в цій області, то для будь-якої крапки існує крапка

N0(x0, y0 .) така, що f(x0, y0 .)= µ.

Простіше кажучи, безперервна функція приймає в області D всі проміжні значення між M і m. Наслідком цієї властивості може служити висновок, що якщо числа M і m різних знаків, то в області D функція принаймні один раз звертається в нуль.

Властивість. Функція f(x, у .), безперервна в замкнутій обмеженій області D, обмежена в цій області, якщо існує таке число До, що для всіх точок області вірна нерівність f (x, y,...) < K .

Властивість. Якщо функція f(x, у .) визначена і безперервна в замкнутій обмеженій області D, то вона рівномірно безперервна в цій області, тобто для будьякого позитивного числа ε існує таке число ∆ > 0, що для будь-яких двох крапок (х1, y1) і (х2, у2) області, що знаходяться на відстані, меншому, виконана нерівність

f (x1 , y1 ) − f (x2 , y2 ) < ε

Приведені вище властивості аналогічні властивостям функцій однієї змінної, безперервних на відрізку. Див. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Похідні і диференціали функцій декількох змінних.

Визначення. Хай в деякій області задана функція z = f(x, у). Візьмемо довільну

точку М(х, у) і задамо приріст х до змінній х. Тоді величина xz = f( x + ∆x, у) – f(x, у)

називається приватним приростом функції по х.

Можна записати

нахилу дотичної, проведеної в точці N0(x0, y0, z0) до перетину поверхні площиною у =

у0.

85