Материал: Частина 2

Міністерство транспорту та зв’язку України Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту

імені академіка В.Лазаряна

Кафедра вищої математики

КУ Р С

ВИ Щ О Ї М А Т Е М А Т И К И

ЧАСТИНА 2

2007

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Диференціальне числення функції однієї змінної.

Похідна функції, її геометричний і фізичний сенс.

Визначення. Похідній функції f(x) в точці х = х0 називається межа відношення приросту функції в цій крапці до приросту аргументу, якщо він існує.

f ′(x) = lim f (x + ∆x) − f (x)

∆x→0 ∆x

у

f(x)

Хай f(x) визначена на деякому проміжку (а, b). Тоді tgβ = ∆∆fx − тангенс кута нахилу січної МР до графіка функції.

де α - кут нахилу дотичної до графіка функції f(x) в крапці (x0, f(x0)).

Кут між кривими може бути визначений як кут між дотичними, проведеними до цих кривих в какойабо крапці.

Рівняння дотичної до кривій: y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 )

Рівняння нормалі до кривій: y − y0 = − f ′(1x0 ) (x − x0 ) .

Фактично похідна функції показує як би швидкість зміни функції, як змінюється функція при зміні змінній.

Фізичний сенс похідної функції f(t), де t- час, а f(t) - закон руху (зміни координат) – миттєва швидкість руху.

Відповідно, друга похідна функциишвидкість зміни швидкості, тобто прискорення.

2

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Односторонні похідні функції в крапці.

Визначення. Правій (лівою) похідній функції f(x) в точці х = х0 називається праве (ліве) значення межі відношення ∆∆fx за умови, що це відношення існує.

Якщо функція f(x) має похідну в деякій точці х = х0, то вона має в цій крапці односторонні похідні. Проте, зворотне твердження невірне. Воперших функція може мати розрив в точці х0, а водругих, навіть якщо функція безперервна в точці х0, вона може бути в ній не дифференцируема.

Наприклад: f(x)= x- має в точці х = 0 і ліву і праву похідну, безперервна в цій крапці, проте, не має в ній похідної.

Теорема. (Необхідна умова існування похідної) Якщо функція f(x) має похідну в точці х0, то вона безперервна в цій крапці.

Зрозуміло, що ця умова не є достатньою.

Основні правила диференціювання.

Позначимо f(x)= u, g(x)= v- функції, що диференціюються в точці х.

1)(u ± v)′= u′± v′

2)(u v)′= u v′+ u′v

3)u ′ = u′v − v′u , якщо v ≠ 0v v2

Ці правила можуть бути легко доведені на основі теорем про межі.

Похідні основних елементарних функцій.

3

Похідна складної функції.

Теорема. Хай у = f(x); u = g(x), причому область значень функції u входить в область визначення функції f.

Тоді y′ = f ′(u) u′

Доказ.

( з урахуванням того, що якщо ∆x0→, то u0, оскільки u = g(x) – безперервна функція)

Враховуючи отриманий результат, можна записати (ln f (x) )′ = f ′(x) .

Спосіб логарифмічного диференціювання полягає в тому, що спочатку знаходять логарифмічну похідну функції, а потім похідну самої функції по формулі

f ′(x) = (ln f (x) )′ f (x)

Спосіб логарифмічного диференціювання зручно застосовувати для знаходження похідних складних, особливо показових функцій, для яких безпосереднє обчислення похідної з використанням правил диференціювання представляється трудомістким.

Похідна показательностатечної функції.

4

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Функція називається показовою, якщо незалежна змінна входить в показник ступеня, і статечною, якщо змінна є підставою. Якщо ж і підстава і показник ступеня залежать від змінній, то така функція буде показова – статечною.

Хай u = f(x) і v = g(x) – функції, що мають похідні в точці х, f(x) >0. Знайдемо похідну функції у = uv. Логарифмуючи, отримаємо:

Похідна зворотних функцій.

Хай потрібно знайти похідну функції = f(x) за умови, що зворотна нею функція x = g(y) має похідну, відмінну від нуля у відповідній крапці.

Для вирішення цього завдання диференціюємо функцію x = g(y) по х:

1 = g′( y) y′

оскільки g(y) ≠ 0

dydx = dx1

dy

тобто похідна зворотної функції зворотна по величині похідної даної функції.

Приклад. Знайти формулу для похідної функції arctg.

Функція arctg є функцією, зворотній функції tg, тобто її похідна може бути знайдена таким чином:

5