Материал: Частина 2

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Тобто чим більше по модулю значення різниці (х – а) тим більше точне значення функції відрізняється від знайденого по формулі Тейлора.

Крім того, можна показати, що залишковий член Rn+1(x) є нескінченно малою функцією при ха→, причому довше високого порядку, чим (х – а)m, тобто

Rn+1 (x) =α([x − a]n ) .

Таким чином, ряд Маклорена можна вважати окремим випадком ряду Тейлора.

Представлення деяких елементарних функцій по формулі Тейлора.

Застосування формули Тейлора для розкладання функцій в статечній ряд широко використовується і має величезне значення при проведенні різних математичних розрахунків. Безпосереднє обчислення інтегралів деяких функцій може бути зв'язане із значними труднощами, а заміна функції статечним поряд дозволяє значно спростити завдання. Знаходження значень тригонометричних, зворотних тригонометричних, логарифмічних функцій також може бути зведене до знаходження значень відповідних многочленів.

Якщо при розкладанні в ряд узяти достатню кількість доданків, то значення функції може бути знайдене з будь-якою наперед заданою точністю. Практично можна сказати, що для знаходження значення будь-якої функції з розумним ступенем точності (передбачається, що точність, що перевищує 10 – 20 знаків після десяткової крапки, необхідна дуже рідко) достатні 4-10 членів розкладання в ряд.

Застосування принципу розкладання в ряд дозволяє проводити обчислення на ЕОМ в режимі реального часу, що важливо при вирішенні конкретних технічних завдань.

Для 8 членів розкладання: e = 2,71827876984127003 Для 10 членів розкладання: e = 2,71828180114638451 Для 100 членів розкладання: e = 2,71828182845904553

11

На графіці показані значення числа е з точністю залежно від числа членів розкладання в ряд Тейлора.

Як видно, для досягнення точності, достатньої для вирішення більшості практичних завдань, можна обмежитися 6-7 – ю членами ряду.

Функція f(x)= cosx.

Для функції cosx, застосувавши аналогічні перетворення, отримаємо:

Функція f(x)= (1 + x)α.

12

Вийшла формула, відома як біном Ньютона.

Приклад: Застосувати отриману формулу для знаходження синуса будь-якого кута з будь-яким ступенем точності.

На приведених нижче графіках представлено порівняння точного значення функції і значення розкладання в ряд Тейлора при різній кількості членів розкладання.

13

Мал. 4. Десять членів розкладання Щоб набути найбільш точного значення функції при найменшій кількості членів

розкладання треба у формулі Тейлора як параметр а вибрати таке число, яке достатнє близько до значення х, і значення функції від цього числа легко обчислюється.

Для прикладу обчислимо значення sin200. Заздалегідь переведемо кут 200 в радіани: 200 = π/9.

Застосуємо розкладання в ряд Тейлора, обмежившись трьома першими членами розкладання:

У чотиризначних таблицях Брадіса для синуса цього кута вказано значення 0,3420.

0.348

0.346

0.344

На графіці показана зміна значень розкладання в ряд Тейлора залежно від кількості членів розкладання. Як видно, якщо обмежитися трьома членами розкладання, то досягається точність до 0,0002.

Вище мовилося, що при х0 функція sinx є нескінченно малою і може при обчисленні бути замінена на еквівалентну нею нескінченно малу функцію х. Тепер

14

“Курс вищої математики. Частина 2.”

видно, що при х, близьких до нуля, можна практично без втрати в точності обмежитися першим членом розкладання, тобто sinx x.

Приклад: Обчислити sin2801315′′′.

Для того, щоб представити заданий кут в радіанах, скористаємося співвідношеннями:

Якщо при розкладанні по формулі Тейлора обмежитися трьома першими членами,

Порівнюючи отриманий результат з точним значенням синуса цього кута

sin= 28013′15′′0,472869017612759812

бачимо, що навіть при обмеженні всього трьома членами розкладання, точність склала 0,000002, що більш ніж достатньо для більшості практичних технічних завдань.

Функція f(x)= ln(1 + x).

Разом:

15