Материал: Частина 2

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Слід зазначити, що правило Лопіталя – всього лише один із способів обчислення меж. Часто в конкретному прикладі разом з правилом Лопіталя може бути використаний і який – або інший метод (заміна змінних, домножение і ін.).

Приклад: Знайти межу lim ex −e−x − 2x .

x→0

Невизначеності вигляду 00 ; 1∞ ; ∞0 можна розкрити за допомогою логарифмування. Такі невизначеності зустрічаються при знаходженні меж функцій

21

Похідні і диференціали вищих порядків.

Хай функція f(x) - дифференцируема на деякому інтервалі. Тоді, диференціюючи її, отримуємо першу похідну

y′ = f ′(x) = df (x) dx

Якщо знайти похідну функції f(x), отримаємо другу похідну функції f(x).

Цей процес можна продовжити і далі, знаходячи похідні ступені n.

Загальні правила знаходження вищих похідних.

Якщо функції u = f(x) і v = g(x) дифференцируемы, то

1)(Сu)(n) = Cu(n);

2)(u ± v)(n) = u(n) ± v(n);

... + uv(n) .

Цей вираз називається формулою Лейбніца.

Також по формулі dny = f(n)(x) dxn може бути знайдений диференціал n- го порядку.

Дослідження функцій за допомогою похідній.

Зростання і убування функцій.

Теорема. 1) Якщо функція f(x) має похідну на відрізку [а, b] і зростає на цьому відрізку, то її похідна на цьому відрізку ненегативна, тобто f(x) ≥ 0.

2) Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [а, b] і дифференцируема на проміжку (а, b), причому f(x)> 0 для а < x < b, то ця функція зростає на відрізку [а, b].

22

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Доказ.

1) Якщо функція f(x) зростає, то f(x + ∆x)> f(x) при x>0 і f(x + ∆x)< f(x) при х<0

тоді:

2) Хай f(x) >0 для будь-яких точок х1 і х2, що належать відрізку [а, b], причому x1<x2.

Тоді по теоремі Лагранжа: f(x2) – f(x1)= f(ε)(x2 – x1), x1 < ε < x2

По умові f′(ε)>0, отже, f(x2) – f(x1) >0, тобто функція f(x) зростає.

Теорема доведена.

Аналогічно можна зробити вивід про те, що якщо функція f(x) убуває на відрізку [а, b], то f(x)≤0 на цьому відрізку. Якщо f(x) <0 в проміжку (а, b), то f(x) убуває на відрізку [а, b].

Звичайно, дане твердження справедливе, якщо функція f(x) безперервна на відрізку [а, b] і дифференцируема на інтервалі (а, b).

уу

x x

Точки екстремуму.

Визначення. Функція f(x) має в точці х1 максимум, якщо її значення в цій крапці більше значень в усіх точках деякого інтервалу, що містить точку х1. Функція f(x) має в точці х2 мінімум, якщо f(x2 +x∆)> f(x2) при будь-якому х∆ (х може бути і негативним).

Очевидно, що функція, визначена на відрізку може мати максимум і мінімум тільки в крапках, що знаходяться усередині цього відрізання. Не можна також плутати максимум і мінімум функції з її найбільшим і найменшим значенням на відрізку – це поняття принципово різні.

Визначення. Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками

екстремуму.

23

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Теорема. (необхідна умова існування екстремуму) Якщо функція f(x)

дифференцируема в точці х = х1 і точка х1 є точкою екстремуму, то похідна функції звертається в нуль в цій крапці.

Доказ. Припустимо, що функція f(x) має в точці х = х1 максимум. Тоді при достатньо малих позитивних ∆х>0 вірне нерівність:

f(x1 + ∆x) < f (x1 ) тобто f (x1 + ∆x) − f (x1 ) < 0

Тобто якщо ∆х0→, але ∆х<0, то f′(x1) ≥ 0, а якщо ∆х0, але х>0, то f(x1) ≤ 0.

А можливо це тільки в тому випадку, якщо при ∆х0 →f′(x1)= 0.

Для випадку, якщо функція f(x) має в точці х2 мінімум теорема доводиться аналогічно.

Теорема доведена.

Слідство. Зворотне твердження невірне. Якщо похідна функції в деякій крапці рівна нулю, то це ще не означає, що в цій крапці функція має екстремум. Красномовний приклад цього – функція у = х3, похідна якої в точці х = 0 рівна нулю, проте в цій крапці функція має тільки перегин, а не максимум або мінімум.

Визначення. Критичними точками функції називаються крапки, в яких похідна функції не існує або рівна нулю.

Розглянута вище теорема дає нам необхідні умови існування екстремуму, але цього недостатньо.

x

x

24

Взагалі кажучи, функція f(x) може мати екстремум в крапках, де похідна не існує або рівна нулю.

Теорема. (Достатні умови існування екстремуму)

Хай функція f(x) безперервна в інтервалі (а, b), який містить критичну точку х1, і дифференцируема в усіх точках цього інтервалу (окрім, можливо, самої точки х1).

Якщо під час переходу через точку х1 зліва направо похідна функції f(x) міняє знак з “+” на “-“, то в точці х = х1 функція f(x) має максимум, а якщо похідна міняє знак з “-“ на “+”- те функція має мінімум.

Доказ.

Т. до. відповіді співпадають, то можна сказати, що f(x)< f(x1) в будь-яких крапках поблизу х1, тобто х1 – точка максимуму.

Доведення теореми для точки мінімуму проводиться аналогічно.

Теорема доведена.

На основі вищесказаного можна виробити єдиний порядок дій при знаходженні найбільшого і найменшого значення функції на відрізку:

1)Знайти критичні точки функції.

2)Знайти значення функції в критичних крапках.

3)Знайти значення функції на кінцях відрізання.

4)Вибрати серед набутих значень найбільше і найменше.

Дослідження функції на екстремум з допомогою похідних вищих порядків.

Хай в точці х = х1 f′(x1)= 0 і f′′(x1) існує і безперервна в деякій околиці точки х1.

Теорема. Якщо f′(x1)= 0, то функція f(x) в точці х = х1 має максимум, якщо f′′(x1) <0 і мінімум, якщо f′′(x1) >0.

Доказ.

25