Материал: Частина 2

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Хай f′(x1)= 0 і f′′(x1) <0. Оскільки функція f(x) безперервна, то f′′(x1) буде негативною і в деякій малій околиці точки х1.

Оскільки f(x)= (′′f(x))′′ < 0, то f(x) убуває на відрізку, що містить точку х1, але f(x1)=0, тобто f(x)> 0 при х<x1 і f(x)< ′0 при x>x1. Це і означає, що під час переходу через точку х = х1 похідна f(x) міняє знак з “+” на “-“, тобто в цій крапці функція f(x) має максимум.

Для випадку мінімуму функції теорема доводиться аналогічно.

Якщо f(x)= 0, то характер критичної крапки невідомий. Для його визначення потрібне подальше дослідження.

Опуклість і угнутість кривої. Точки перегину.

Визначення. Крива обернена опуклістю вгору на інтервалі (а, b), якщо всі її крапки лежать нижче за будь-яку її дотичну на цьому інтервалі. Крива, обернена опуклістю вгору, називається опуклою, а крива, обернена опуклістю вниз, – називається увігнутою.

x

На малюнку показана ілюстрація приведеного вище визначення.

Теорема 1. Якщо в усіх точках інтервалу (а, b) друга похідна функції f(x) негативна, то крива у = f(x) обернена опуклістю вгору (опукла).

Доказ. Хай х0 (а, b). Проведемо дотичну до кривій в цій крапці. Рівняння кривої: у = f(x);

Рівняння дотичної: y − f (x0 ) = f ′(x0 )(x − x0 ). Слід довести, що y − y = f (x) − f (x0 ) − f ′(x0 )(x − x0 ) .

По теоремі Лагранжа для f(x) – f(x0): y − y = f ′(c)(x − x0 ) − f ′(x0 )(x − x0 ) , x0 < з < x.

Хай х > x0 тоді x0 < c1 < з < x. Оскільки x – x0 > 0 і з – x0 > 0, і крім того по умові f ′′(c1 ) < 0 отже y − y < 0 .

26

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Хай x < x0 тоді x < з < c1 < x0 і x – x0 < 0, з – x0 < 0, оскільки по умові f ′′(c1 ) < 0, те y − y < 0 .

Аналогічно доводиться, що якщо f(x)> 0 на інтервалі (а, b), то крива y=f(x) увігнута на інтервалі (а, b).

Теорема доведена.

Визначення. Крапка, що відокремлює опуклу частину кривої від увігнутої,

називається точкою перегину.

Очевидно, що в точці перегину дотична перетинає криву.

Теорема 2. Хай крива визначається рівнянням у = f(x). Якщо друга похідна f(a)= 0 або f(a) не існує і під час переходу через точку х = а f(x) міняє знак, то точка кривої з абсцисою х = а є точкою перегину.

Доказ. 1) Хай f(x)< 0 при х < а і f(x)> 0 при x > а. Тоді при

x < а крива опукла, а при x > а крива увігнута, тобто точка х = а – точка перегину.

2)Хай f(x)> 0 при x < b і f(x)< 0 при x < b. Тоді при x < b крива обернена опуклістю вниз, а при x > b – опуклістю вгору. Тоді x = b – точка перегину.

Теорема доведена.

Асимптоти.

При дослідженні функцій часто буває, що при видаленні координати х точки кривої в нескінченність крива необмежено наближається до деякої прямої.

Визначення. Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань від змінної крапки кривої до цієї прямої при видаленні крапки в нескінченність прагне до нуля.

Слід зазначити, що не будь-яка крива має асимптоту. Асимптоти можуть бути прямі і похилі. Дослідження функцій на наявність асимптот має велике значення і дозволяє точніше визначити характер функції і поведінку графіка кривою.

Взагалі кажучи, крива, необмежено наближаючись до своєї асимптоти, може і перетинати її, причому не в одній крапці, як показано на приведеному нижче графіку

−x

функції y = x + e 3 sin x . Її асимптота похилої у = х.

27

Тоді MQ = у – ордината точки кривої, NQ = y - ордината точки N на асимптоті.

28

NM = MQ − QN = y − y = f (x) − (kx + b)

Тоді lim[ f (x) − (kx + b)] = 0 .

x→∞

Отже, пряма у = kx + b – асимптота кривої. Для точного визначення цієї прямої необхідно знайти спосіб обчислення коефіцієнтів і b.

У отриманому виразі виноситься за дужки х:

Відзначимо, що горизонтальні асимптоти є окремим випадком похилих асимптот при до =0.

Приклад. Знайти асимптоти і побудувати графік функції y = x2 + 2x −1 . x

Таким чином, пряма у = х + 2 є похилою асимптотою. Побудуємо графік функції:

29

Прямі х = 3 і х = -3 є вертикальними асимптотами кривої. Знайдемо похилі асимптоти:

у = 0 – горизонтальна асимптота.

Разом, пряма у = х – 4 є похилою асимптотою.

30